Question

Найти точку минимума y=(x^2-5x+5)e^x-5

Answer 1

Ответ:   $x_{min}=3$ .

Объяснение:

$y=(x^2-5x+5)\cdot e^{x}-5\\\\y'=(2x-5)\cdot e^{x}+(x^2-5x+5)\cdot e^{x}=e^{x}\cdot (2x-5+x^2-5x+5)=e^{x}\cdot (x^2-3x)\\\\e^{x}>0\; \; \Rightarrow \; \; y'=0\; , \; esli\; \; (x^2-3x)=0\; ,\; \; x(x-3)=0\; ,\; x_1=0\; ,\; x_2=3\\\\znaki\; y':\; \; +++(0)---(3)+++\\\\y(x):\qquad \quad \nearrow \; \; \; \; (0)\; \; \searrow \; \; \; \; (3)\; \; \nearrow \\\\x_{min}=3\; ,\; \; y_{min}=-e^3-5$

Answer 2

///////////////////////////////////////

Answer 3

Чтобы найти точку минимума функции $y = (x^2 - 5x + 5)e^x - 5$, нужно взять производную этой функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную $y$ по $x$: $y' = e^x(x^2 - 5x + 5) + e^x(2x - 5) = e^x(x^2 - 3x)$

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: $e^x(x^2 - 3x) = 0$

Это уравнение будет равно нулю, если один из множителей равен нулю:

a) $e^x = 0$ - это уравнение не имеет решений, так как экспоненциальная функция $e^x$ всегда положительна и никогда не равна нулю.

b) $x^2 - 3x = 0$ - это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного уравнения. Для этого факторизуем его: $x(x - 3) = 0$

Из этого уравнения получаем два решения:

1. $x = 0$
2. $x = 3$

Теперь найдем значения функции $y$ в точках $x = 0$ и $x = 3$:

Для $x = 0$: $y(0) = (0^2 - 5 \cdot 0 + 5)e^0 - 5 = 5 - 5 = 0$

Для $x = 3$: $y(3) = (3^2 - 5 \cdot 3 + 5)e^3 - 5 = (9 - 15 + 5)e^3 - 5 = -1 \cdot e^3 - 5$

Таким образом, точки минимума функции $y$ находятся в $x = 0$ и $x = 3$, и их значения равны соответственно $y = 0$ и $y = -e^3 - 5$.