Question

Найти точку минимума y=x^3-27x+11 (решить самим или проверить решение) y'=3x^2-27 3x^2-27=0 3x^2=27 x^2=27/3 x^2=9 x=+-3 Точка минимума +3

Answer 1

y=x³-27x+11

y´=3x²-27

y´= 0 , 3x²-27=0, x²=9 , x=3 ∨ x=-3

y´´ =6x

y´´ (3)=18 , x=3 min.

y´´ (-3)=-18, x=-3 max.

y(3)=3³-27.3+11=27-81+11=27-70=-43

min.: P(3,-43)

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции y = x^3 - 27x + 11, мы должны найти значения x, при которых производная y' равна нулю.

Вы правильно вычислили производную функции y по x, получив уравнение y' = 3x^2 - 27 = 0. Чтобы решить это уравнение, можно начать с факторизации:

3x^2 - 27 = 0 3(x^2 - 9) = 0 3(x + 3)(x - 3) = 0

Теперь мы видим, что уравнение разбивается на три части: x + 3 = 0, x - 3 = 0 и 3 = 0. Очевидно, что 3 ≠ 0, поэтому мы можем проигнорировать эту часть. Остаются два уравнения:

x + 3 = 0 => x = -3 x - 3 = 0 => x = 3

Таким образом, мы получаем две кандидатурные точки минимума: x = -3 и x = 3.

Чтобы определить, какая из этих точек минимум, мы можем применить вторую производную тест, который позволяет нам определить, является ли точка экстремумом или точкой перегиба.

Вычислим вторую производную функции y:

y'' = 6x

Подставим значения x = -3 и x = 3 в y'':

y''(-3) = 6(-3) = -18 y''(3) = 6(3) = 18

Так как y''(-3) < 0 и y''(3) > 0, мы можем заключить, что x = -3 - точка максимума, а x = 3 - точка минимума.

Точка минимума функции y = x^3 - 27x + 11 находится при x = 3. Чтобы найти значение y в этой точке, мы можем подставить x = 3 в исходную функцию:

y = (3)^3 - 27(3) + 11 y = 27 - 81 + 11 y = -43

Таким образом, точка минимума функции y = x^3 - 27x + 11 находится в точке (3, -43).