Question

Найдите сумму всех значений k , при каждом из которых корни уравнения 7x^{2} +(5k^{2} -6k-11)x-k^{4}=0 являются противоположными числами. а)1,4 б)1,2 в)1,6 г)1,8 P.S напишите с объяснением, если можно)

Answer 1

Ответ: в)

Объяснение: квадратичная функция, график-парабола, ветви вверх... условие существования двух различных корней: D>0

(для этой функции дискриминант всегда положителен: (5k^2-6k-11)^2+28k^4>0 для любых k...)

корни будут противоположными числами (т.е. равными по модулю и отличающимися только знаком: 5 и -5; или 1.5 и -1.5), если вершина параболы лежит на оси ОУ, т.е. имеет координаты (0; у) и у<0

при х=0, получим у = -k^4 <0

абсцисса вершины вычисляется по формуле:

-b/(2a) = -(5k^2-6k-11)/14 = 0

5k^2-6k-11=0

D=36+220=16^2

k=(6-16)/10=-1 или k=(6+16)/10=2.6

при этих значениях k вершина будет лежать на оси ОУ

2.6-1=1.6

Answer 2

Чтобы найти сумму всех значений k, при каждом из которых корни уравнения становятся противоположными, мы можем воспользоваться фактом, что если a и -a являются корнями квадратного уравнения, то их сумма равна 0. Это можно записать как:

a + (-a) = 0

Сначала определим корни уравнения 7x^2 + (5k^2 - 6k - 11)x - k^4 = 0. Для этого можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 7, b = 5k^2 - 6k - 11 и c = -k^4.

Корни уравнения будут противоположными, если их сумма равна 0. Таким образом, сумма корней x1 и x2 будет равна:

x1 + x2 = -b/a

В нашем случае:

x1 + x2 = -(5k^2 - 6k - 11) / 7

Теперь мы можем найти значения k, при которых x1 + x2 = 0:

-(5k^2 - 6k - 11) / 7 = 0

Умножим обе стороны на -7:

5k^2 - 6k - 11 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-6)^2 - 4 * 5 * (-11) = 36 + 220 = 256

k = (-b ± √D) / (2a)

k = (6 ± √256) / (2 * 5)

k = (6 ± 16) / 10

Теперь найдем два значения k:

1. k1 = (6 + 16) / 10 = 22 / 10 = 11 / 5
2. k2 = (6 - 16) / 10 = -10 / 10 = -1

Теперь мы имеем два значения k, при которых корни уравнения становятся противоположными: k1 = 11/5 и k2 = -1.

Сумма этих значений k:

11/5 + (-1) = 11/5 - 5/5 = 6/5

Итак, сумма всех значений k, при каждом из которых корни уравнения становятся противоположными, равна 6/5.

Ответ: б) 1,2