Question

Решить уравнение с модулем. -4*|x^2 - 1| - 3 >= 1/ x^2 - 1.

Answer 1

$-4|x^2-1|-3\ge \frac{1}{x^2-1};\ x^2-1=t;\ -4|t|-3\ge \frac{1}{t}.$

1-й случай: t>0. В этом случае решений быть не может, так как левая часть отрицательна, а правая положительна, а отрицательное число не может быть больше положительного.

2-й случай: t<0. В этом случае |t|= - t, и мы получаем неравенство

$4t-3\ge\frac{1}{t},$ а умножив его на отрицательное t (не забыв при этом поменять неравенство на противоположное), получаем

$4t^2-3t\le 1;\ 4t^2-3t-1\le 0; (t-1)(4t+1)\le 0.$

Вспоминаем, что t<0, откуда t-1<0, поэтому второй множитель 4t+1 обязан быть неотрицательным:

$4t+1\ge 0;\ 4t\ge -1;\ t\ge -\frac{1}{4}\Rightarrow t=x^2-1\in[-\frac{1}{4};0); x^2\in[\frac{3}{4};1); |x|\in[\frac{\sqrt{3}}{2};1);$

Ответ: $x\in (-1;-\frac{\sqrt{3}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$

Answer 2

Конечно, давай решим это уравнение. Для начала, приведем его к более удобному виду:

-4*|x^2 - 1| - 3 ≥ 1/(x^2 - 1)

Для удобства, представим 1/(x^2 - 1) как (x^2 - 1)^(-1). Теперь у нас есть:

-4*|x^2 - 1| - 3 ≥ (x^2 - 1)^(-1)

Добавим (x^2 - 1) к обеим сторонам уравнения:

-4*|x^2 - 1|(x^2 - 1) - 3(x^2 - 1) ≥ 1

Раскроем модуль и упростим:

-4(x^4 - x^2) - 3x^2 + 3 ≥ 1

Распределим коэффициенты:

-4x^4 + 4x^2 - 3x^2 + 2 ≥ 1

Упростим:

-4x^4 + x^2 + 2 ≥ 1

Теперь приведем все к одной стороне уравнения:

-4x^4 + x^2 + 1 ≥ 0

Это квадратное уравнение в четвертой степени. Теперь давай решим его.

Заметим, что данное уравнение не зависит от знака x. Таким образом, у нас есть только один вариант решения: x может быть любым действительным числом.

Итак, решение уравнения -4*|x^2 - 1| - 3 ≥ 1/(x^2 - 1) - любое действительное число x.