Question

Докажите что при любом целом n: значение выражения (5n + 2)² - (3n - 2)² делится на 16

Answer 1

   (5n + 2)² - (3n - 2)² =

=  25n²+20n+4 - (9n²-12n+4) =

= 25n²+20n+4 - 9n²+12n-4 =

= 16n² + 32n =

= 16n(n + 2)

В конечном выражении 16n(n + 2)  есть множитель, который делится на 16, а это означает, что данное выражение  делится на 16 при любом целом n.

Доказано.

Answer 2

Давайте докажем, что выражение $(5n + 2)^2 - (3n - 2)^2$ делится на 16 для любого целого числа $n$.

Сначала раскроем скобки в данном выражении:

$(5n + 2)^2 - (3n - 2)^2 = (25n^2 + 20n + 4) - (9n^2 - 12n + 4)$

Теперь выразим разницу между этими двумя выражениями:

$(25n^2 + 20n + 4) - (9n^2 - 12n + 4) = 25n^2 + 20n + 4 - 9n^2 + 12n - 4$

Сократим подобные члены:

$25n^2 - 9n^2 + 20n + 12n = 16n^2 + 32n$

Теперь это выражение можно факторизовать, вынимая из него общий множитель 16:

$16(n^2 + 2n)$

Теперь видно, что данное выражение содержит множитель 16. Поскольку 16 делит $16(n^2 + 2n)$ без остатка (поскольку 16 умножить на любое целое число даёт целое число), мы можем заключить, что $(5n + 2)^2 - (3n - 2)^2$ делится на 16 для любого целого числа $n$.