Question

Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии ,если а)b1=16/9;q=2/3;n=7

Answer 1

$s7 = \frac{b1( {q}^{7} - 1)}{q - 1} = \frac{ \frac{16}{9} ( { \frac{2}{3} }^{7} - 1)}{ \frac{2}{3} - 1} = \\ \frac{ \frac{16}{9} ( \frac{128}{2187} - 1)}{ - \frac{1}{3} } = \frac{ \frac{16}{9} ( - \frac{2059}{2187}) }{ - \frac{1}{3} } = \frac{32944}{6561}$

Answer 2

Сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть найдена с помощью формулы:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q),

где: S_n - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

В данном случае: a = 16/9, q = 2/3, n = 7.

Подставим значения в формулу:

S_n = (16/9) * (1 - (2/3)^7) / (1 - 2/3).

Теперь вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: 16/9 * (1 - (2/3)^7) = 16/9 * (1 - 128/2187) = 16/9 * (2059/2187).

Знаменатель: 1 - 2/3 = 1/3.

Теперь вычислим S_n:

S_n = (16/9) * (2059/2187) / (1/3).

Умножим числитель на обратное значение знаменателя:

S_n = (16/9) * (2059/2187) * (3/1).

Теперь упростим выражение:

S_n = (16 * 2059) / (9 * 2187).

Теперь рассчитаем числитель и знаменатель:

16 * 2059 = 32944, 9 * 2187 = 19683.

Итак, S_n = 32944 / 19683.

Теперь можно сократить эту дробь на их наибольший общий делитель, если он существует. В данном случае, НОД(32944, 19683) = 3, поэтому:

S_n = (32944 / 3) / (19683 / 3) = (10981.33) / (6561).

Теперь разделим числитель на знаменатель:

S_n ≈ 1.6718.

Таким образом, сумма первых 7 членов данной геометрической прогрессии равна примерно 1.6718.