Question

Найдешь область определения функции y=⁴√(2-x) (x²-9)

Answer 1

Нахождение области определения функции в данном случае сводится к решению неравенства. Так как сама функция представляет собой радикал четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

(2-x)*(x^2 - 9) ⩾ 0.

Для удобства заменим (2-х) на (х-2), изменим знак неравенства на противоположный, и разложим x^2 - 9 = (x-3)*(x+3). Получаем:

(x-2)*(x-3)*(x+3) ⩽ 0.

Это неравенство решаем методом интервалов: разбиваем числовую прямую нулями на интервалы и смотрим значение выражения на каждом из них. Выбираем отрицательные и записываем ответ. Решение во вложении.

Ответ: D(y) = (-∞; -3]⋃[2; 3].

Answer 2

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt[4]{(2-x)(x^2-9)}$, нужно учесть два аспекта:

1. Избегание деления на ноль: Когда мы берем корень из выражения, знаменатель под корнем не должен быть равен нулю. Таким образом, исключим те значения $x$, при которых выражение под корнем равно нулю.

   $(2 - x)(x^2 - 9) \neq 0$

2. Реальные значения в корне четвёртой степени: Извлечение корня из отрицательного числа приводит к комплексным числам, что может не соответствовать области определения вещественной функции. Таким образом, необходимо удостовериться, что выражение под корнем неотрицательно:

   $(2 - x)(x^2 - 9) \geq 0$

Решим эти два неравенства:

1. $(2 - x)(x^2 - 9) \neq 0$:

   • $2 - x \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 2$
   • $x^2 - 9 \neq 0$ $\Rightarrow x \neq -3, x \neq 3$

   Таким образом, исключаем $x = 2, x = -3, x = 3$.

2. $(2 - x)(x^2 - 9) \geq 0$:

   • Воспользуемся методом интервалов и определим знак выражения для трех интервалов: $(- \infty, -3)$, $(-3, 2)$, $(2, 3)$, $(3, +\infty)$.

   • Подставим в каждый интервал тестовую точку и определим знак выражения:

     • Для $(- \infty, -3)$ выбираем $x = -4$, получаем $(2 - (-4))((-4)^2 - 9) > 0$ - положительное.
     • Для $(-3, 2)$ выбираем $x = 0$, получаем $(2 - 0)(0^2 - 9) < 0$ - отрицательное.
     • Для $(2, 3)$ выбираем $x = 2.5$, получаем $(2 - 2.5)((2.5)^2 - 9) > 0$ - положительное.
     • Для $(3, +\infty)$ выбираем $x = 4$, получаем $(2 - 4)((4)^2 - 9) < 0$ - отрицательное.

   Следовательно, функция определена на интервалах $(- \infty, -3)$ и $(2, 3)$.

Таким образом, область определения функции $y = \sqrt[4]{(2-x)(x^2-9)}$ - это $(- \infty, -3) \cup (-3, 2) \cup (2, 3) \cup (3, +\infty)$ с исключением точек $x = -3, x = 2, x = 3$.