Question

Докажите, что если в группе порядок любого не единичного элемента равен 2, то эта группа коммутативна.

Answer 1

Пусть порядок равен 2. Тогда $g=g^{-1}$ для любого не единичного элемента. Но тогда для любых двух элементов $a,b$: $a*b=(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}=b*a$

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть G - группа, в которой порядок любого неединичного элемента равен 2. Нам нужно доказать, что эта группа коммутативна (абелева), то есть для любых элементов a и b из G выполняется равенство ab = ba.

Для этого рассмотрим произвольные элементы a и b из G. По условию, порядок каждого из них равен 2. Это означает, что a^2 = e (единичный элемент) и b^2 = e.

Рассмотрим произведение ab. Возводя его в квадрат, получим:

(ab)^2 = abab.

Теперь воспользуемся свойствами порядка элементов:

(ab)^2 = abab = a(bb)a.

Так как b^2 = e, то bb = e, следовательно:

a(bb)a = aea = aa = e.

Таким образом, получили, что (ab)^2 = e, что означает, что порядок элемента ab также равен 2.

Поскольку порядок элемента ab равен 2, это означает, что (ab)^2 = e, что в свою очередь означает, что ab = ba.

Таким образом, мы доказали, что для произвольных элементов a и b из группы G выполняется равенство ab = ba, что означает, что группа G коммутативна (абелева).

Это завершает доказательство.