Question

Решите уравнение 1+cos2x+sin2x=0 и найдите корни из промежутка (-3П; -2П)

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

а)

$1+\cos 2x+\sin 2x=0\medskip\\\sin^2x+\cos^2x+\cos^2x-\sin^2x+2\sin x\cos x=0\medskip\\2\cos^2x+2\sin x\cos x=0\medskip\\\cos x\left(\cos x+\sin x\right)=0\medskip\\1)~\cos x=0\medskip\\x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,~k\in\mathbb{Z}\medskip\\2)~\cos x+\sin x=0 \mid\div\cos x\neq 0\medskip\\1+\mathrm{tg}~x=0\medskip\\\mathrm{tg}~x=-1\medskip\\x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi t,~t\in\mathbb{Z}$

б)

$\left(-3\pi;-2\pi\right)\medskip\\1)~-3\pi$

Ответ. а) $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi m,~m\in\mathbb{Z} \vee x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,~k\in\mathbb{Z}$; б) $\left\{-\dfrac{5\pi}{2};-\dfrac{9\pi}{4}\right\}$

Answer 3

Давайте решим уравнение $1 + \cos(2x) + \sin(2x) = 0$. Для удобства представим $\sin(2x)$ в виде $2\sin(x)\cos(x)$:

$1 + \cos(2x) + \sin(2x) = 0$

$1 + \cos(2x) + 2\sin(x)\cos(x) = 0$

Теперь заметим, что $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1$, поэтому можно подставить это выражение:

$1 + (2\cos^2(x) - 1) + 2\sin(x)\cos(x) = 0$

$2\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 0$

$2\cos(x)(\cos(x) + \sin(x)) = 0$

Таким образом, у нас есть два множителя: $\cos(x) = 0$ и $\cos(x) + \sin(x) = 0$.

1. Решение $\cos(x) = 0$: Это происходит, когда $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое число.

2. Решение $\cos(x) + \sin(x) = 0$: Это уравнение сложнее, но можно воспользоваться тригонометрической заменой для $\sin(x)$ и $\cos(x)$:

$\cos(x) + \sin(x) = 0$

$\cos(x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 0$

$\cos(x) - \sin(x) = 0$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\cos(x) + \sin(x) = 0$ $\cos(x) - \sin(x) = 0$

Решив ее, получим $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения $1 + \cos(2x) + \sin(2x) = 0$ на интервале $(-3\pi, -2\pi)$ будет:

$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

где $k$ и $n$ - целые числа.