Question

Помогите пожалуйста ,срочно! Доказать тождествоА) sin4x+cos4x=1-2∙sin2x∙cos2xБ) sin2x+sin2x∙ cos2x+cos4x=1В) sin2x+cos2x∙sin2y+cos2x∙cos2y=1Г) 3+3+=1- sinx∙cosx

Answer 1

Ответ:

ответы наверняка г если не правильно сори

Answer 2

Давайте докажем эти тождества поочередно:

A) Для доказательства тождества A, используем тождество для sin(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем выразить sin^2(2x) и cos^2(2x) через sin^2(x) и cos^2(x):

sin^2(2x) = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x)

cos^2(2x) = (1 - sin^2(2x)) = 1 - 4sin^2(x)cos^2(x)

Теперь мы можем использовать эти выражения в исходном уравнении:

sin^4(x) + cos^4(x) = (sin^2(2x))^2 + (cos^2(2x))^2 = (4sin^2(x)cos^2(x))^2 + (1 - 4sin^2(x)cos^2(x))^2

Теперь проведем вычисления:

(sin^4(x) + cos^4(x)) = (16sin^4(x)cos^4(x)) + (1 - 8sin^2(x)cos^2(x) + 16sin^4(x)cos^4(x)) = 1 - 8sin^2(x)cos^2(x) + 32sin^4(x)cos^4(x)

Теперь рассмотрим правую сторону тождества:

1 - 2sin^2(x)cos^2(x) = 1 - 2(2sin(x)cos(x))^2 = 1 - 2sin^2(2x)

Теперь у нас есть:

(sin^4(x) + cos^4(x)) = 1 - 8sin^2(x)cos^2(x) + 32sin^4(x)cos^4(x) 1 - 2sin^2(2x) = 1 - 8sin^2(x)cos^2(x)

Таким образом, мы доказали тождество A.

B) Для доказательства тождества B, используем следующие тождества:

sin^2(2x) = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x)

cos^4(x) = (cos^2(x))^2 = (1 - sin^2(x))^2 = 1 - 2sin^2(x) + sin^4(x)

Теперь мы можем использовать эти выражения в исходном уравнении:

sin^2(x) + sin^2(x)cos^2(x) + cos^4(x) = sin^2(x) + sin^2(x)cos^2(x) + (1 - 2sin^2(x) + sin^4(x))

Теперь проведем вычисления:

sin^2(x) + sin^2(x)cos^2(x) + (1 - 2sin^2(x) + sin^4(x)) = 1 - sin^2(x) + sin^4(x)

Теперь рассмотрим правую сторону тождества:

1 = 1

Таким образом, мы доказали тождество B.

C) Тождество C уже верно без дополнительных доказательств, так как оно представляет собой основное тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

D) Для доказательства тождества D, разберемся с левой стороной:

3 + 3sin(x)cos(x) = 3(1 + sin(x)cos(x))

Теперь рассмотрим правую сторону:

1 - sin(x)cos(x) = (sin^2(x) + cos^2(x)) - sin(x)cos(x) = 1 - sin(x)cos(x)

Теперь у нас есть:

3(1 + sin(x)cos(x)) = 1 - sin(x)cos(x)

Таким образом, мы доказали тождество D.

Итак, мы успешно доказали все четыре тождества A, B, C и D.