Question

Помогите с решением 50 баллов)))) Решите уравнение: 2.1) sin^2 2x-соs^2 2x=1 2.2) 2sinx=sin2x 2.3) (cosx-sinx)^2=1-2sin2xНайдите:3) sin2x, cos2x, tg2x, если sinx=7/25, π/2Упростить:4.1) сos^4 x-sin^4 x 4.2) (cos2x-sin2x)/cos4x 4.3) 2/(tgx-ctgx)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Давайте по порядку решим задачи.

2.1) sin^2 2x - cos^2 2x = 1:

Используем тригонометрическую идентичность для разности квадратов:

sin^2 2x - cos^2 2x = sin^2 2x - (1 - sin^2 2x) = 2sin^2 2x - 1 = 1

Теперь выразим sin^2 2x:

2sin^2 2x = 2

sin^2 2x = 2/2

sin^2 2x = 1

Теперь возьмем квадратный корень:

sin 2x = ±1

Так как sin2x ограничен между -1 и 1, уравнение sin 2x = 1 не имеет решений, а sin 2x = -1 имеет одно решение:

2x = -π/2 + 2πn, где n - целое число

x = (-π/4 + πn), где n - целое число

2.2) 2sinx = sin2x:

Преобразуем уравнение:

2sinx = 2sinx * cosx

Теперь у нас есть:

2sinx = 2sinx * cosx

Далее можно разделить обе стороны на 2sinx:

1 = cosx

Таким образом, решение уравнения cosx = 1:

x = 0 + 2πn, где n - целое число.

2.3) (cosx - sinx)^2 = 1 - 2sin2x:

Раскроем квадрат в левой части уравнения:

cos^2 x - 2cosxsinx + sin^2 x = 1 - 2sin2x

Используем тригонометрические тождества: cos^2 x + sin^2 x = 1 и sin2x = 2sinxcosx:

1 - 2cosxsinx = 1 - 2sin2x

Теперь выразим sin2x через sinx и cosx:

2sinxcosx = 2sin2x

Теперь у нас есть:

1 - 2cosxsinx = 1 - 2sin2x

После вычитания 1 из обеих сторон уравнения получаем:

-2cosxsinx = -2sin2x

Можем сократить на -2:

cosxsinx = sin2x

Теперь можем разделить обе стороны на sinx (предполагая, что sinx ≠ 0):

cosx = 2cosx

Так как cosx ограничен между -1 и 1, это уравнение имеет единственное решение:

cosx = 0

Известно, что если cosx = 0, то x = π/2 + πn, где n - целое число.

3) sinx = 7/25, π/2:

Для нахождения sin2x, cos2x и tg2x используем двойные углы:

sin2x = 2sinxcosx = 2 * (7/25) * √(1 - (7/25)^2) = 14/25 * √(1 - 49/625) = 14/25 * √(576/625) = 14/25 * (24/25) = 14 * 24 / (25 * 25) = 336/625

cos2x = cos^2 x - sin^2 x = (24/25)^2 - (7/25)^2 = (576/625) - (49/625) = (576 - 49) / 625 = 527/625

tg2x = sin2x / cos2x = (336/625) / (527/625) = 336/527

4.1) cos^4 x - sin^4 x:

Используем формулу разности квадратов:

cos^4 x - sin^4 x = (cos^2 x + sin^2 x)(cos^2 x - sin^2 x)

Так как cos^2 x + sin^2 x = 1 (это тождество Пифагора), у нас остается:

1 * (cos^2 x - sin^2 x) = cos^2 x - sin^2 x

4.2) (cos2x - sin2x) / cos4x:

Используем двойные углы для sin2x и cos2x:

cos2x = cos^2 x - sin^2 x = cos^2 x - (1 - cos^2 x) = 2cos^2 x - 1

sin2x = 2sinxcosx = 2sinx(√(1 - sin^2 x))

Теперь можем заменить в исходном уравнении:

(cos2x - sin2x) / cos4x = ((2cos^2 x - 1) - 2sinx(√(1 - sin^2 x))) / (cos^4 x)

4.3) 2 / (tgx - ctgx):

Мы знаем, что tgx = sinx / cosx и ctgx = cosx / sinx, поэтому:

tgx - ctgx = (sinx / cosx) - (cosx / sinx)

Далее найдем общий знаменатель:

tgx - ctgx = (sinx^2 - cosx^2) / (cosx * sinx)

Теперь можем подставить это значение:

2 / (tgx - ctgx) = 2 / ((sinx^2 - cosx^2) / (cosx * sinx))

Инвертируем и умножим на 2:

2 * (cosx * sinx) / (sinx^2 - cosx^2)

Теперь мы имеем упрощенное выражение.