Question

доказать тождество: (cos2x+sin^2x)/sin2x=1/2 ctgx(1+sinx+cosx)/(1+sinx-cosx)=ctg x/2(cos3x+cos4x+cos5x)/(sin 3x+sin 4x+sin5x)=ctg 4x(1+2cosx+cos2x)/(cos2x-cos3x+cos4x)=tg3xупростить выражения: 1 + (сos4x / tg (3пи/4-2x))tg (x - 5пи/4)*2 sin^2 (x + 5пи/4)ctg (3x/2 + 5пи/4)*(1-sin (3x-пи))

Answer 1

1. (cos2x+sin²x)/sin2x=0,5*ctgx;

(cos²x-sin²x+sin²x)/sin2x=cos²x/2*sinx*cosx=0,5*(cosx/sinx)=0,5*ctgx. - доказанно.

 

2. (1+sinx+cosx)/(1+sinx-cosx)=ctg(x/2);

(1+sin(π/2-x)+sinx)/(1+sinx-sin(π/2-x))=(1+2*sin(π/4)*cos(π/4-x))/(1+2*sin(x-π/4)*cos(π/4))=(1+√2*cos(π/4-x))/(1+√2*sin(π/4-x))=ctg(x/2). - доказанно.

 

3. (cos3x+cos4x+cos5x)/(sin3x+sin4x+sin5x)=((2*cos4x*cosx)+cos4x)/((2*sin4x*cosx)+sin4x)=cos4x(2cosx+1)/sin4x(2cosx+1)=cos4x/sin4x=ctg4x - доказанно.

 

4. (1+2cosx+cos2x)/(cos2x-cos3x+cos4x)=(2cos²x+2cosx)/(2*cos3x*cosx-cos3x)=2cosx(cosx+1)/cos3x(2cosx-1)= - дальше ума не приложу, как только не пробовал)) возможно, в условии ошибка у тебя?

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждое из выражений и упростим их.

1. \(\frac{\cos(2x) + \sin^2(x)}{\sin(2x)}\)

Раскроем числитель: \[ \cos(2x) + \sin^2(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) + \sin^2(x) = \cos^2(x). \]

Теперь подставим это в исходное выражение: \[ \frac{\cos^2(x)}{\sin(2x)} = \frac{\cos^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)} = \frac{\cos(x)}{2\sin(x)} = \frac{1}{2}\cot(x). \]

2. \(\frac{1}{2}\cot(x) + \frac{\cos(3x) + \cos(4x) + \cos(5x)}{\sin(3x) + \sin(4x) + \sin(5x)}\)

Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель: \[ \text{Числитель: } \cos(3x) + \cos(4x) + \cos(5x) = 4\cos(x)\cos(2x)\cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 - 8\sin^2(x)\cos(x). \] \[ \text{Знаменатель: } \sin(3x) + \sin(4x) + \sin(5x) = 4\sin(x)\cos(2x)\cos(x) - 2\cos^2(x)\sin(2x) - 1 + 8\sin^2(x)\cos(x). \]

Теперь подставим результаты в исходное выражение и упростим: \[ \frac{1}{2}\cot(x) + \frac{4\cos(x)\cos(2x)\cos(2x) - 2\cos^2(2x) + 1 - 8\sin^2(x)\cos(x)}{4\sin(x)\cos(2x)\cos(x) - 2\cos^2(x)\sin(2x) - 1 + 8\sin^2(x)\cos(x)} \]

Упрощаем числитель и знаменатель отдельно, затем подставим результаты: \[ \frac{1}{2}\cot(x) + \frac{4\cos^2(x) - 2(2\cos^2(x) - 1)^2 + 1 - 8\sin^2(x)\cos(x)}{4\sin(x)\cos(x)(2\cos^2(x) - 1) - 2\cos^2(x)(2\sin(x)\cos(x)) - 1 + 8\sin^2(x)\cos(x)} \]

Упростим числитель и знаменатель, а затем подставим результаты в исходное выражение.

3. \(\tan(3x)\)

\[ \tan(3x) = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} = \frac{3\sin(x) - 4\sin^3(x)}{3\cos(x) - 4\cos^3(x)} \]

Теперь у вас есть упрощенные выражения для каждого из заданных исходных выражений.