Question

Решить неравенства а) x(x-2)(x-9)(x-4) меньше или равно 0 б) (x+2)(x+3)/(x-5) больше или равно 0

Answer 1

a) 1. y= x(x-2)(x-9)(x-4) меньше или равно 0

2. Находим нули функции, т.е. корни уравнения. х1=0 х2=2 х3=9 х4=4

3. Строим геометрическую плоскость(ось х) и отмечаем точки в порядке возрастания. Точки отмечаем закрашенными кружочками, т.к. неравенство несторогое(т.е. знак- меньше либо равно). Можно методом интервала, т.е. каждый промежуток между одной и второй точкой- это интервал, между ними справа налево чередуются знаки(в данном случае). Крайний правый + и т.д.

х принадлежит от{ 0; 2] [4;9]

б) y=(x+2)(x+3)/(x-5) больше или равно 0

2. Находим нули числителя: х1=-2 х2=-3

Нули знаменателя: х=5

3. Опять сторим ось х. Отмечаем точки закрашенные, т.к. нераенство несторогое,НО только нули числителя. А нули знаменателя- незакрашенными кружочками, т.к. знаменатель не может быть равен нулю.

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы будем использовать метод интервалов.

Решение неравенства а) x(x-2)(x-9)(x-4) <= 0:

1. Найдем значения x, при которых выражение x(x-2)(x-9)(x-4) равно нулю: - x = 0, x = 2, x = 4, x = 9 2. Разделим ось чисел на интервалы, используя найденные значения: - (-∞, 0), (0, 2), (2, 4), (4, 9), (9, +∞) 3. Выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак выражения x(x-2)(x-9)(x-4) в этой точке: - В интервале (-∞, 0) можно выбрать x = -1, получаем (-1)(-1-2)(-1-9)(-1-4) = (-1)(-3)(-10)(-5) = -150, знак отрицательный. - В интервале (0, 2) можно выбрать x = 1, получаем (1)(1-2)(1-9)(1-4) = (1)(-1)(-8)(-3) = 24, знак положительный. - В интервале (2, 4) можно выбрать x = 3, получаем (3)(3-2)(3-9)(3-4) = (3)(1)(-6)(-1) = 18, знак положительный. - В интервале (4, 9) можно выбрать x = 5, получаем (5)(5-2)(5-9)(5-4) = (5)(3)(-4)(1) = -60, знак отрицательный. - В интервале (9, +∞) можно выбрать x = 10, получаем (10)(10-2)(10-9)(10-4) = (10)(8)(1)(6) = 480, знак положительный. 4. Составим таблицу знаков: | Интервал | Знак выражения x(x-2)(x-9)(x-4) | |----------|-------------------------------| | (-∞, 0) | отрицательный | | (0, 2) | положительный | | (2, 4) | положительный | | (4, 9) | отрицательный | | (9, +∞) | положительный |

5. Определяем интервалы, в которых выражение x(x-2)(x-9)(x-4) меньше или равно нулю: - (-∞, 0) и (4, 9) Ответ: x принадлежит интервалам (-∞, 0] и (4, 9].

Решение неравенства б) (x+2)(x+3)/(x-5) >= 0:

1. Найдем значения x, при которых выражение (x+2)(x+3)/(x-5) равно нулю или неопределено: - x = -2, x = -3, x = 5 2. Разделим ось чисел на интервалы, используя найденные значения: - (-∞, -3), (-3, -2), (-2, 5), (5, +∞) 3. Выберем тестовую точку в каждом интервале и определим знак выражения (x+2)(x+3)/(x-5) в этой точке: - В интервале (-∞, -3) можно выбрать x = -4, получаем (-4+2)(-4+3)/(-4-5) = (-2)(-1)/(-9) = 2/9, знак положительный. - В интервале (-3, -2) можно выбрать x = -2.5, получаем (-2.5+2)(-2.5+3)/(-2.5-5) = (-0.5)(0.5)/(-7.5) = 0.0333, знак положительный. - В интервале (-2, 5) можно выбрать x = 0, получаем (0+2)(0+3)/(0-5) = (2)(3)/(-5) = -1.2, знак отрицательный. - В интервале (5, +∞) можно выбрать x = 6, получаем (6+2)(6+3)/(6-5) = (8)(9)/(1) = 72, знак положительный. 4. Составим таблицу знаков: | Интервал | Знак выражения (x+2)(x+3)/(x-5) | |------------|---------------------------------| | (-∞, -3) | положительный | | (-3, -2) | положительный | | (-2, 5) | отрицательный | | (5, +∞) | положительный |

5. Определяем интервалы, в которых выражение (x+2)(x+3)/(x-5) больше или равно нулю: - (-∞, -3) и (-2, 5) и (5, +∞) Ответ: x принадлежит интервалам (-∞, -3) U (-2, 5) U (5, +∞).