Question

Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии если сумма четырёх первых её членов равна 65:81,а сумма прогрессии равна 1

Answer 1

b₁+b₁q+b₁q²+b₁q³=b₁*(1+q+q²+q³)=65/81

S=b₁*(1-q)=1

b₁=1-q

(1-q)*(1+q+q²+q³)=65/81

1+q+q²+q³-q-q²-q³-q⁴=65/81

1-q⁴=65/81

q⁴=16/81

q⁴=(2/3)⁴

q=2/3 ⇒

b₁=1-(2/3)=1/3.

Ответ: b₁=1/3.

Answer 2

Для поиска первого члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы можем воспользоваться формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммы такой прогрессии выглядит следующим образом:

S = a / (1 - r),

где: S - сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

У нас есть следующая информация: 1. Сумма первых четырех членов прогрессии равна 65:81 (это можно записать как 65/81). 2. Сумма всей бесконечной прогрессии равна 1.

Сначала найдем сумму первых четырех членов прогрессии, которую мы обозначим как S4:

S4 = a + ar + ar^2 + ar^3,

где a - первый член, r - знаменатель прогрессии.

Теперь у нас есть S4 и S, и мы можем написать два уравнения:

1. S4 = 65/81, 2. S = 1.

Теперь нам нужно найти a и r, и для этого мы можем воспользоваться системой уравнений:

1. a + ar + ar^2 + ar^3 = 65/81, 2. a / (1 - r) = 1.

Давайте решим эту систему уравнений.

Сначала решим второе уравнение относительно a:

a = 1 - r.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

(1 - r) + (1 - r)r + (1 - r)r^2 + (1 - r)r^3 = 65/81.

Упростим уравнение:

1 - r + r - r^2 + r^2 - r^3 + r^2 - r^3 = 65/81.

Теперь можно сократить некоторые члены:

1 - 2r^3 = 65/81.

Теперь выразим r^3:

2r^3 = 1 - 65/81, 2r^3 = 16/81.

r^3 = 8/81.

Теперь найдем r:

r = (8/81)^(1/3) ≈ 0.5.

Теперь, когда у нас есть значение r, мы можем найти a:

a = 1 - r, a = 1 - 0.5, a = 0.5.

Итак, первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 0.5.