Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 392√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Answer 1

Пусть искомый катет равен x, тогда, по свойству угла в 30° в прямоугольном треугольнике, гипотенуза равна 2x. Второй катет по теореме Пифагора равен

$\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{4x^2-x^2}=x\sqrt{3}$

Из площади имеем:

$\dfrac{x\sqrt{3}\cdot x}{2}=392\sqrt{3}\\ x^2=784\\ x=28$

Ответ: 28

Answer 2

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов (сторон треугольника), а S - площадь треугольника.

В данном случае, площадь треугольника равна 392√3.

Поскольку один из острых углов равен 30°, то это означает, что соответствующий катет делит прямой угол треугольника на два равных угла. Таким образом, можно сказать, что этот катет является половинной гипотенузой.

Обозначим длину катета, лежащего напротив 30° угла, как х. Тогда длина другого катета будет 2х (половина гипотенузы).

Применяя формулу площади треугольника, получаем:

392√3 = (х * 2х) / 2 392√3 = х^2

Решая это уравнение относительно х, получим:

х = ±√(392√3) х = ±√(392 * √3) х = ±√(392 * 3^(1/2)) х = ±√(392 * 3^(1/2)) х = ±√(392 * (3^2)^(1/2)) х = ±√(392 * 3^2 * 3^(1/2)) х = ±√(392 * 9 * √3) х = ±√(3528√3) х = ±√(16 * 3 * 3 * (9√3)) х = ±√(16 * 9 * 3 * 3 * √3) х = ±√(16 * 9 * 3^2 * √3) х = ±√(16 * 9 * 9√3) х = ±√(16 * 9 * 9 * √3) х = ±√(16 * 81 * √3) х = ±√(1296√3) х = ±36√3

Таким образом, длина катета, лежащего напротив 30° угла, равна ±36√3.