Question

Укажите наименьшее значение функции f(x)=sin2x+2cosx на отрезке [π/2;π] .У меня получается -2. Но это ведь не правильно?

Answer 1

f(x)=sin(2x)+2*cosx [π/2;π].

f`(x)=2*cos(2x)-2*sinx=0

2*(cos²x-sin²x)=2*sinx |÷2

1-sin²x-sin²x=sinx

2*sin²x+sinx-1=0

Пусть sinx=t ⇒

2t²+t-1=0 D=9 √D=3

t₁=-1 ⇒ sinx=-1 x₁=3π/2 ∉[π/2;π]

t₂=1/2 ⇒ sinx=1/2 x₂=π/6 ∉[π*2;π] x₃=5π/6 ∈[π/2;π].

f(π/2)=sin(2*π/2)+2*cos(π/2)=sin(π)+2*0=0.

f(π)=sin(2π)+2*cosπ=0+2*(-1)=-2.

f(5π/6)=sin(2*5π/6)+2*cos(5π/6)=sin(5π/3)+2*(-√3/2)=-√3/2-√3=-3*√3/2=-1,5*√3.

Ответ: наименьшее значение функции на интервале [π/2;π] =-1,5*√3 (≈-2,6).

Answer 2

Для определения наименьшего значения функции f(x) = sin^2(x) + 2cos(x) на отрезке [π/2, π], нужно найти точку, в которой функция достигает минимума.

Давайте найдем производную функции f(x) для определения точек экстремума: f'(x) = 2sin(x)cos(x) - 2sin(x) = 2sin(x)(cos(x)-1)

Точка экстремума функции находится там, где производная равна нулю или не существует. Решим уравнение f'(x) = 0: 2sin(x)(cos(x)-1) = 0

Это уравнение выполняется, когда sin(x) = 0 или cos(x) - 1 = 0: 1) sin(x) = 0 и x принадлежит отрезку [π/2, π] 2) cos(x) - 1 = 0 и x принадлежит отрезку [π/2, π]

1) Когда sin(x) = 0, значит x = π.

2) Когда cos(x) - 1 = 0, значит cos(x) = 1 и x = π.

Таким образом, на интервале [π/2, π] функция f(x) достигает минимума при x = π/2 и x = π.

Найдем значения функции в этих точках: f(π/2) = sin^2(π/2) + 2cos(π/2) = 0 + 2(0) = 0 f(π) = sin^2(π) + 2cos(π) = 0 + 2(-1) = -2

Так как f(π/2) = 0 и f(π) = -2, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [π/2, π] равно 0. Так что ваш ответ (-2) был неверным.