Question

Постройте график функции: y= –x2+2x+8. Пользуясь этим графиком, найдите: а) множество значений аргумента, при которых y=0; y < 0; y > 0; б) множество значений аргумента, на котором функция возрастает, убывает; в) значение х, при котором функция принимает наибольшее значение. Пожалуйста, с подробным решением.

Answer 1

Выделим полный квадрат.

y= – (x – 1)2+9 – графиком функции является парабола, ветви вниз, вершина в точке (1;9)

а) множество значений аргумента,

при которых y=0:

x=–2 и х=4;

y < 0

(– ∞;–2) U(4; + ∞

y > 0

(–2;4);

б) множество значений аргумента, на котором функция возрастает

(–∞; 1),

убывает

(1;+∞);

в) значение х, при котором функция принимает наибольшее значение

При х=1

y=9 – наибольшее

Answer 2

Для начала давайте построим график функции $y = -x^2 + 2x + 8$. Чтобы проиллюстрировать график, мы можем воспользоваться Python и его библиотеками для построения графиков, такими как matplotlib.

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создание значений x от -2 до 4
x = np.linspace(-2, 4, 400)
# Вычисление соответствующих значений y
y = -x**2 + 2*x + 8

# Построение графика
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(x, y, label='$y = -x^2 + 2x + 8$', color='b')
plt.title('График функции $y = -x^2 + 2x + 8$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axhline(y=0, color='k', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.axvline(x=0, color='k', linestyle='--', alpha=0.5)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

После выполнения этого кода будет построен график функции $y = -x^2 + 2x + 8$. Теперь мы можем перейти к решению задачи.

а) Чтобы найти множество значений аргумента, при которых $y = 0$, $y < 0$ и $y > 0$, мы должны проанализировать график функции:

• $y = 0$ достигается в точках пересечения графика с осью $x$.
• $y < 0$ соответствует области, где график ниже оси $x$.
• $y > 0$ соответствует области, где график выше оси $x$.

б) Чтобы найти множество значений аргумента, на котором функция возрастает или убывает, мы должны рассмотреть наклон функции в разных точках графика.

• Функция возрастает на участках, где график поднимается (например, на интервалах между точками минимума и вершиной параболы).
• Функция убывает на участках, где график опускается (например, на интервалах между вершиной параболы и её максимумом).

в) Чтобы найти значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, мы можем воспользоваться вершиной параболы, так как у параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, координаты вершины определяются формулами:

$x_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}$ $y_{\text{вершины}} = c - \frac{b^2}{4a}$