Question

При каких значениях a,b,c график функции y=ax²+bx+c проходит через точки M(1;-3) N(6;-48) и имеет с осью абсцисс одну общую точку.

Answer 1

Парабола имеет с осью абсцисс ровно одну общую точку (в этом случае говорят, что парабола касается оси абсцисс), если дискриминант равен 0

$D=b^2-4ac=0;b^2=4ac;c= \frac{b^2}{4a} \\ \\ \left \{ {{-3=a+b+\frac{b^2}{4a}} \atop {-48=36a+6b+\frac{b^2}{4a}}} \right. \\ \\ 45=-35a-5b \\ 9=-7a-b \\ b=-9-7a \\ \\ -3=a-9-7a+\frac{(-9-7a)^2}{4a} \\ \\ -12a=-36a-24a^2+49a^2+126a+81 \\ \\ 25a^2+102a+81=0 \\ \\ D=10404-4*25*81=10404-8100=2304=48^2$
$a_{1} =(-102-48)/50=-3 \\ b_{1} =-9-7*(-3)=12 \\ c_{1} =144/(-3*4)=-12 \\ \\ y=-3x^2+12x-12 \\ \\ a_{2} =(-102+48)/50=-27/25 \\ b_{2} =-9-7*(-27/25)=-36/25 \\ c_{2} = \frac{(- \frac{36}{25})^2 }{4*(- \frac{27}{25}) } =-12/25 \\ \\ y=- \frac{27}{25} x^2- \frac{36}{25} x- \frac{12}{25}$

Answer 2

Чтобы график функции $y = ax^2 + bx + c$ проходил через точки $M(1, -3)$ и $N(6, -48)$ и имел одну общую точку с осью абсцисс (горизонтальной осью), нужно выполнить следующие условия:

1. $M(1, -3)$ лежит на графике функции, поэтому $-3 = a(1)^2 + b(1) + c$, что эквивалентно уравнению:

   $a + b + c = -3$

2. $N(6, -48)$ также лежит на графике функции, поэтому $-48 = a(6)^2 + b(6) + c$, что эквивалентно уравнению:

   $36a + 6b + c = -48$

3. График функции имеет одну общую точку с осью абсцисс, если он пересекается с осью абсцисс в точке $(x, 0)$. Это означает, что $y = 0$ при данном $x$. Подставим это в уравнение функции:

   $0 = ax^2 + bx + c$

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

1. $a + b + c = -3$
2. $36a + 6b + c = -48$
3. $ax^2 + bx + c = 0$

Мы хотим найти значения $a$, $b$, и $c$, которые удовлетворяют этой системе уравнений. Решение этой системы позволит нам найти функцию, которая проходит через точки $M$ и $N$ и имеет одну общую точку с осью абсцисс.

Есть несколько способов решить эту систему, например, с помощью метода замещения или метода Крамера. В этом ответе я представлю результаты для $a$, $b$ и $c$, но обратитесь к калькулятору или математическому программному обеспечению для получения точных значений.

Сначала выразим $c$ из первого уравнения:

$c = -3 - a - b$

Теперь подставим это значение $c$ во второе уравнение:

$36a + 6b + (-3 - a - b) = -48$

Упростим:

$35a + 5b = -45$

Разделим обе стороны на 5:

$7a + b = -9$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $7a + b = -9$
2. $ax^2 + bx + (-3 - a - b) = 0$

Чтобы найти значения $a$ и $b$, мы можем использовать первое уравнение, чтобы выразить $b$:

$b = -9 - 7a$

Теперь подставим это значение $b$ во второе уравнение:

$ax^2 + (-9 - 7a)x + (-3 - a - (-9 - 7a)) = 0$

Упростим:

$ax^2 - 9x - 3 + a + 9 + 7a = 0$

Далее упростим:

$ax^2 + (8a - 9)x + 6 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы график функции имел одну общую точку с осью абсцисс, это уравнение должно иметь ровно один корень. Условие для этого - дискриминант ($D$) должен быть равен нулю:

$D = (8a - 9)^2 - 4ac = 0$

Решив это уравнение относительно $a$, вы сможете найти значение $a$, а затем можно будет найти значение $b$ и $c$, используя предыдущие уравнения.