Question

Знайдіть довжини сторін прямокутника з периметром 24 см що має найбільшу площу

Answer 1

Пусть стороны равны а и в.
Периметр Р = 2а + 2в = 24 см.
Разделим на 2: а + в = 12 см, откуда в = 12 - а.
Тогда площадь S прямоугольника равна:
S = a*b = a(12 - a) = 12a - a².
Производная равна S' = 12 - 2a, приравняем нулю:
12 - 2а = 0, отсюда а = 12/2 = 6 см,  то есть (1/4) периметра.
Вывод: из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат со стороной в (1/4) периметра.

Ответ: прямоугольник с наибольшей площадью - это квадрат со стороной 6 см.

Answer 2

Щоб знайти розміри прямокутника з максимальною площею, ми повинні враховувати, що периметр даного прямокутника становить 24 см. Нехай довжина прямокутника буде позначена як L, а його ширина - як W.

Ми знаємо, що формула для периметра прямокутника є $P = 2L + 2W$. Відомо, що $P = 24$, тому:

$24 = 2L + 2W$

або

$12 = L + W$

Також площа прямокутника $A$ обчислюється за формулою $A = L \times W$.

Ми можемо виразити ширину як $W = 12 - L$ з першого рівняння. Підставимо це значення в формулу для площі, щоб отримати вираз для площі як функції від довжини:

$A(L) = L \times (12 - L) = 12L - L^2$

Тепер ми маємо квадратичну функцію, яку ми можемо оптимізувати. Щоб знайти значення L, при якому площа є максимальною, ми можемо взяти похідну від $A(L)$ і прирівняти його до нуля:

$A'(L) = 12 - 2L$

$0 = 12 - 2L$

$2L = 12$

$L = 6$

Тепер, знаючи значення L, ми можемо знайти W:

$W = 12 - L = 12 - 6 = 6$

Отже, довжина прямокутника дорівнює 6 см, а ширина також 6 см, оскільки прямокутник є квадратом.