Question

Решите систему уравнений:х^2+у^2=4ху и х+у=ху

Answer 1

{ x^2 + y^2 = 4xy
{ x + y = xy
Возведем в квадрат 2 уравнение
{ x^2 + y^2 = 4xy
{ x^2 + 2xy + y^2 = x^2y^2
Отсюда
{ x^2 + y^2 = 4xy
{ x^2 + y^2 = x^2y^2 - 2xy
Левые части уравнений одинаковые, значит и правые тоже равны.
4xy = x^2y^2 - 2xy
x^2y^2 - 6xy = 0
xy*(xy - 6) = 0
1) x = 0, тогда y = 0
2) y = 0, тогда x = 0
3) xy = 6, тогда
{ x^2 + y^2 = 24
{ x + y = 6
x^2 + (6 - x)^2 = 24
x^2 + x^2 - 12x + 36 = 24
2x^2 - 12x + 12 = 0
x^2 - 6x + 6 = 0
D/4 = 3^2 - 6*1 = 9 - 6 = 3
x1 = 3 - √3; y1 = 6 - x = 3 + √3
x2 = 3 + √3; y2 = 6 - x = 3 - √3
Ответ: (0, 0), (3 - √3, 3 + √3), (3 + √3, 3 - √3)

Answer 2

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод замены переменных. В первом уравнении (x^2 + y^2 = 4xy) выразим одну переменную через другую:

x^2 + y^2 = 4xy

x^2 - 4xy + y^2 = 0

(x - 2y)^2 = 0

x - 2y = 0

Теперь у нас есть значение x в терминах y, которое мы можем подставить во второе уравнение (x + y = xy):

(x - 2y) + y = (x - 2y)y

Теперь подставим x - 2y = 0:

0 + y = 0

Таким образом, у нас есть два уравнения: x - 2y = 0 и y = 0. Решим их:

1. Из уравнения y = 0 следует, что y = 0.
2. Подставив y = 0 в уравнение x - 2y = 0, получим x - 2 * 0 = 0, то есть x = 0.

Таким образом, решение системы уравнений:

x = 0 y = 0

Answer 3

Давайте решим данную систему уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 4xy$
2. $x + y = xy$

Для начала, мы можем выразить одну переменную через другую из уравнения (2). Давайте выразим $y$ через $x$:

$y = xy - x$

Теперь мы можем подставить это выражение для $y$ в уравнение (1):

$x^2 + (xy - x)^2 = 4xy$

Теперь у нас есть уравнение только относительно переменной $x$. Решим его:

Раскроем скобки:

$x^2 + x^2y^2 - 2xy + x^2 = 4xy$

Сгруппируем члены:

$x^2 + x^2y^2 + x^2 - 2xy - 4xy = 0$

Теперь упростим:

$x^2(1 + y^2 + 1 - 2 - 4) = 0$

$x^2(-2y^2 - 5) = 0$

Теперь рассмотрим два случая:

1. $x^2 = 0$:

   Это приводит к $x = 0$, и мы можем использовать уравнение (2) для нахождения значения $y$:

   $x + y = xy$

   $0 + y = 0\cdot y$

   $y = 0$

   Итак, одним решением системы является $x = 0$ и $y = 0$.

2. $-2y^2 - 5 = 0$:

   Это уравнение можно решить относительно $y^2$:

   $-2y^2 - 5 = 0$

   $-2y^2 = 5$

   $y^2 = -\frac{5}{2}$

   Это уравнение не имеет действительных корней, так как $y^2$ не может быть отрицательным числом. Следовательно, второе решение отсутствует.

Итак, у нас есть одно решение этой системы уравнений: $x = 0$ и $y = 0$.