Question

Пооммооогите решиииттьььь уравнение: 0,5(cos^2(x)+cos^2(2x))-1=2sin2x-2sinx-sinx*sin2xВ конечном итоге(упрощая) надо прийти к строчке : (sin2x-sinx)(sin2x-sinx+4)=0,а дальше можно не решать, я знаю как.И найти корни в промежутке [-1;1,5]

Answer 1

Решение в файле, надеюсь получить от Вас за него лучшее.

Answer 2

Давайте начнем с решения уравнения:

0,5(cos^2(x) + cos^2(2x)) - 1 = 2sin(2x) - 2sin(x) - sin(x)sin(2x)

Для упрощения уравнения, давайте заметим, что можно использовать тригонометрические тождества для косинусов и синусов:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

0.5(2cos^2(x) + (2cos^2(x) - 1)) - 1 = 2(2sin(x)cos(x)) - 2sin(x) - (2sin(x)cos(x))

Упростим это уравнение:

cos^2(x) + (cos^2(x) - 0.5) - 1 = 4sin(x)cos(x) - 2sin(x) - 2sin(x)cos(x)

Теперь объединим подобные члены:

2cos^2(x) - 1.5 - 1 = 2sin(x)(2cos(x) - 1) - 2sin(x)

2cos^2(x) - 2.5 = 2sin(x)(2cos(x) - 1) - 2sin(x)

Теперь вынесем 2sin(x) за скобки:

2cos^2(x) - 2.5 = 2sin(x)(2cos(x) - 1 - 1)

2cos^2(x) - 2.5 = 2sin(x)(2cos(x) - 2)

Теперь поделим обе стороны на 2:

cos^2(x) - 1.25 = sin(x)(2cos(x) - 2)

cos^2(x) - 1.25 = 2sin(x)(cos(x) - 1)

Теперь заметим, что можно использовать следующее тригонометрическое тождество:

sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)

Теперь у нас есть:

cos^2(x) - 1.25 = 2(2sin(x/2)cos(x/2))(cos(x) - 1)

cos^2(x) - 1.25 = 4sin(x/2)cos(x/2)(cos(x) - 1)

Теперь воспользуемся тождеством для косинуса разности углов:

cos(x) - 1 = -2sin^2(x/2)

Теперь у нас есть:

cos^2(x) - 1.25 = 4sin(x/2)cos(x/2)(-2sin^2(x/2))

cos^2(x) - 1.25 = -8sin^3(x/2)cos(x/2)

Теперь заметим, что можно использовать следующее тождество:

sin^2(x/2) = (1 - cos(x))/2

Теперь у нас есть:

cos^2(x) - 1.25 = -8(1 - cos(x)/2)cos(x/2)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

2cos^2(x) - 2.5 = -16(1 - cos(x)/2)cos(x/2)

2cos^2(x) - 2.5 = -16(cos(x/2) - cos(x/2)*cos(x))cos(x/2)

2cos^2(x) - 2.5 = -16cos(x/2)cos(x/2) + 16cos(x/2)*cos^2(x)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x):

2cos^2(x) - 16cos(x/2)*cos^2(x) - 2.5 + 16cos(x/2)*cos(x/2) = 0

Перепишем его в стандартной форме:

2cos^2(x) - 16cos(x/2)*cos^2(x) + 16cos(x/2)*cos(x/2) - 2.5 = 0

2cos^2(x)(1 - 8cos(x/2)) + 16cos(x/2)*cos(x/2) - 2.5 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Вынесем общий множитель 2cos^2(x):

2cos^2(x)(1 - 8cos(x/2)) + 2(8cos(x/2)*cos(x/2) - 1.25) = 0

cos^2(x)(1 - 8cos(x/2)) + 8cos(x/2)*cos(x/2) - 1.25 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить. После нахождения корней, проверьте их на соответствие интервалу [-1; 1.5], и вы получите решение задачи.