Question

Разложить на множители: х^3+6х^2+11х+6=?   2х^4-3х^3-3х^2+7х-3=?

Answer 1

х^3 + 6х^2 + 11х + 6 = х^3 + х^2 + 5x^2 + 5x + 6х + 6 = x^2(x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 5x + 6) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)

D = 25 - 24 = 1  x12 = (-5 +- 1)/2 = -2  -3

=========

2х^4 - 3х^3 - 3х^2 + 7х - 3 = 2x^4 + 3x^3 - 6x^3 - 9x^2 + 6x^2 + 9x - 2x - 3 = x^3(2x + 3) - 3x^2(2x + 3) + 3x(2x + 3) - 1*(2x + 3) = (2x + 3)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = {в скобках куб разности}   = (2x + 3)(x - 1)^3

Answer 2

Давайте разложим данные многочлены на множители:

1. x^3 + 6x^2 + 11x + 6:

   Сначала проверим, есть ли у многочлена рациональные корни, используя рациональный корень теоремы (теорема о рациональных корнях). Потенциальные рациональные корни можно найти с помощью делителей свободного члена (6) и коэффициента при старшей степени (1), то есть ±1, ±2, ±3 и ±6. Подставим их в многочлен, чтобы найти рациональные корни:

   При x = -1: (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0. Это означает, что x + 1 - один из множителей.

   Теперь мы можем разделить исходный многочлен на x + 1:

   (x^3 + 6x^2 + 11x + 6) / (x + 1)

   Это даст нам x^2 + 5x + 6. Мы также можем разложить этот квадратный многочлен:

   x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

   Теперь мы можем записать исходный многочлен как произведение множителей:

   x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)

2. 2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 7x - 3:

   Сначала мы видим, что данный многочлен не имеет рациональных корней, которые могли бы быть найдены методом рационального корня.

   Однако мы можем попробовать найти рациональные корни многочлена с использованием метода синтетического деления. Начнем с проверки, делится ли многочлен на 2x - 1:

   При x = 1/2: 2(1/2)^4 - 3(1/2)^3 - 3(1/2)^2 + 7(1/2) - 3 = 1/8 - 3/8 - 3/8 + 7/2 - 3 = 0.

   Значит, x - 1/2 - один из множителей. Теперь мы можем разделить многочлен на 2x - 1:

   (2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 7x - 3) / (2x - 1)

   Это даст нам x^3 - x^2 - 2x + 3. Мы также можем попробовать разложить этот многочлен дальше, но это может потребовать использования метода деления многочленов для нахождения более сложных множителей.

   Поэтому окончательное разложение в множители для второго многочлена может быть:

   2x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 7x - 3 = (2x - 1)(x^3 - x^2 - 2x + 3)

   Не всегда возможно найти аналитическое разложение многочлена на множители без использования численных методов или компьютерных программ, особенно если многочлен имеет сложную структуру.