Question

При каких значениях а каждое решение неравенства 2x^2 - x - 3<0 является решением неравенства 3x -2a>0?‌‌

Answer 1

Начнем с неравенства 2x^2 - x - 3 < 0. Мы можем найдти корни квадратного уравнения 2x^2 - x - 3 = 0:

2x^2 - x - 3 = 0

Воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

= (-1)^2 - 4(2)(-3)

= 1 + 24

= 25

Дискриминант положителен, у нас будет два различный квадратных корня:

x1 = (-b + √D) / (2a)

= (1 + √25) / (2(2))

= (1 + 5) / 4

= 6 / 4

= 3 / 2

x2 = (-b - √D) / (2a)

= (1 - √25) / (2(2))

= (1 - 5) / 4

= -4 / 4

= -1

Мы узнали, что неравенство 2x^2 - x - 3 < 0 будет точно истинно для:

x ∈ (-∞, -1) U (3/2, +∞).

Теперь приступил к неравенству

3x - 2a > 0. Что-бы найти значенние «а». Нам нужно убедиться что коэффициент «х» положителен.

3 > 0

Это Верно для любого значения "а".
В итоге: Неравенство 3x - 2a > 0 выполняется для всех решений первого неравенства при любом значении "а".

Надеюсь помог!

Answer 2

Ответ:

a<-1,5

Объяснение:

1) 2x²-x-3 < 0
Для нахождения корней, приравняем неравенство к нулю
2x²-x-3 = 0
D = (-1)²-4*2*(-3) = 1+24 = 25 = 5²
x₁₂ = (1±5)/(2*2); x₁ = 1,5; x₂ = -1;
Возьмём по 1 значению из каждого промежутка
Пусть х = -2:
2*(-2)²-(-2)-3 = 2*4+2-3 = 8-1 = 7
Пусть х = 0:
2*0²-0-3 = -3
Пусть х = 2:
2*2²-2-3 = 2*4-5 = 8-5 = 3
Из этого следует что у неравенства 2x²-x-3 < 0 следующие решения: х∈(-1;1,5)
2) 3x-2a>0
3x > 2a|:3
$\displaystyle x > \frac{2}{3}a$
Очевидно, что для того, чтобы решения прошлого неравенства полностью попадали под это, нужно чтобы правая сторона максимум равнялась -1
$\displaystyle \frac{2}{3}a = -1;\\ a = -1:\frac{2}{3};\\a = -\frac{3}{2} ;\\a = -1,5$
Следовательно a<-1,5

Answer 3

Для того чтобы найти значения параметра "a", при которых каждое решение неравенства $2x^2 - x - 3 < 0$ является решением неравенства $3x - 2a > 0$, нужно учесть, что оба неравенства должны иметь одни и те же корни. Это означает, что графики обоих квадратных уравнений должны пересекаться в одних и тех же точках.

Начнем с неравенства $2x^2 - x - 3 < 0$. Вычислим его корни, чтобы узнать, где оно меняет знак:

$2x^2 - x - 3 = 0$

Сначала найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{4} = 1.5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{4} = -1$

Теперь у нас есть два корня: $x_1 = 1.5$ и $x_2 = -1$. Эти значения разбивают число x на три интервала:

1. $-\infty < x < -1$
2. $-1 < x < 1.5$
3. $1.5 < x < +\infty$

Теперь рассмотрим неравенство $3x - 2a > 0$. Чтобы это неравенство было положительным, $3x$ должно быть больше, чем $2a$, поэтому $x > \frac{2a}{3}$.

Для того чтобы оба неравенства имели одни и те же корни, необходимо, чтобы интервалы, в которых выполняются оба неравенства, совпадали. Таким образом, мы получаем следующие условия:

1. Для интервала $-\infty < x < -1$: $-1 > \frac{2a}{3}$
2. Для интервала $-1 < x < 1.5$: $-1 < \frac{2a}{3}$
3. Для интервала $1.5 < x < +\infty$: $1.5 > \frac{2a}{3}$

Теперь решим каждое из этих неравенств:

1. $-1 > \frac{2a}{3}$ - Для этого неравенства не существует решений, так как оно противоречит другим условиям.
2. $-1 < \frac{2a}{3}$ - Для этого неравенства существует решение, если $\frac{2a}{3} > -1$, что равносильно $a > -\frac{3}{2}$.
3. $1.5 > \frac{2a}{3}$ - Для этого неравенства существует решение, если $\frac{2a}{3} < 1.5$, что равносильно $a < \frac{9}{4}$.

Итак, значения параметра $a$ должны удовлетворять следующим условиям:

$a > -\frac{3}{2}$ и $a < \frac{9}{4}$

Таким образом, диапазон значений параметра $a$, при которых каждое решение неравенства $2x^2 - x - 3 < 0$ является решением неравенства $3x - 2a > 0$, это $-\frac{3}{2} < a < \frac{9}{4}$.