Question

Решить интеграл: ∫((tg^3(x) +4)/ cos^2 (x))dx

Answer 1

∫((tg^3(x) +4)/ cos^2 (x))dx =
= интеграл(tq³x+4)d(tqx)=интеграл(tq³x)d(tqx)+интеграл(4)d(tqx) =
= 1/4*(tqx)^4 + 4tqx +c

Answer 2

Давайте рассмотрим интеграл ∫((tan^3(x) + 4) / cos^2(x)) dx.

Сначала представим tan^3(x) в виде (tan^2(x) * tan(x)). Теперь наш интеграл выглядит так:

∫((tan^2(x) * tan(x) + 4) / cos^2(x)) dx

Далее, разделим дробь на две части:

∫(tan^2(x) * tan(x) / cos^2(x) dx) + ∫(4 / cos^2(x)) dx

Теперь рассмотрим каждый из интегралов по отдельности.

1. ∫(tan^2(x) * tan(x) / cos^2(x) dx):

Используем замену: u = tan(x), du = sec^2(x) dx. Тогда наш интеграл становится:

∫(u^2 du) = (1/3)u^3 + C

2. ∫(4 / cos^2(x) dx):

Используем тождество: sec^2(x) = 1 + tan^2(x). Тогда 4 / cos^2(x) = 4 / (1 + tan^2(x)). Теперь сделаем замену: u = tan(x), du = sec^2(x) dx. Интеграл примет вид:

∫(4 / (1 + u^2) du)

Для этого интеграла можно использовать арктангенс:

∫(4 / (1 + u^2) du) = 4 * arctan(u) + C

Теперь, чтобы получить итоговый ответ, сложим результаты обоих интегралов:

(1/3)u^3 + 4 * arctan(u) + C

Заменяем обратно u на tan(x):

(1/3)tan^3(x) + 4 * arctan(tan(x)) + C

Так как arctan(tan(x)) равен x (по определению арктангенса для углов в интервале от -π/2 до π/2), и упрощая выражение, получаем:

(1/3)tan^3(x) + 4x + C

Итак, интеграл ∫((tan^3(x) + 4) / cos^2(x)) dx равен:

(1/3)tan^3(x) + 4x + C