Question

Решить неравенство методом интегралов.

Answer 1

Метод интервалов:  

$\frac{6x+1}{3+x} \ \textgreater \ 0\\\\6x+1=0\; \; \to \;\; x=-\frac{1}{6}\\\\3+x=0\; \; \to \; \; x=-3\\\\+++(-3)---(-\frac{1}{6})+++\\\\x\in (-\infty -3)\cup (-\frac{1}{6},+\infty )$

Answer 2

Для решения неравенства методом интегралов, нам необходимо преобразовать неравенство в интегральную форму и затем решить это интегральное неравенство.

Предположим, у нас есть неравенство:

$f(x) \geq g(x)$

Шаги для решения неравенства методом интегралов:

1. Найдите разницу между функциями $f(x)$ и $g(x)$:

$h(x) = f(x) - g(x)$

2. Найдите интеграл от $h(x)$ на интервале $[a, b]$:

$\int_a^b h(x) \, dx$

3. Рассмотрите знак интеграла. Если интеграл положителен, то исходное неравенство выполняется на интервале $[a, b]$. Если интеграл равен нулю, то неравенство выполняется с равенством, и если интеграл отрицателен, то неравенство не выполняется на интервале $[a, b]$.

Пример: Рассмотрим неравенство:

$x^2 \geq 1$

Шаг 1: Найдем разницу между $x^2$ и 1:

$h(x) = x^2 - 1$

Шаг 2: Найдем интеграл от $h(x)$ на интервале $[-1, 1]$:

$\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) \, dx$

Шаг 3: Вычислим интеграл:

$\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1}{3} - 1\right) - \left(-\frac{1}{3} + 1\right) = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0$

Интеграл равен нулю, поэтому исходное неравенство $x^2 \geq 1$ выполняется с равенством на интервале $[-1, 1$.

Таким образом, метод интегралов позволяет определить, выполняется ли неравенство на заданном интервале.