Question

Найти промежутки монотонности функциии: x² + 3x делить на x + 4

Answer 1

Y=(x^2+3x)/(x+4)
y'= [(x^2+3x)' (x+4)-(x^2+3x)(x+4)']/(x+4)^2=
=[(2x+3)(x+4)-(x^2+3x)]/(x+4)^2=
=(2x^2+8x+3x+12-x^2-3x)/(x+4)^2=
=(x^2+8x+12)/(x+4)^2
Приравняем производную к нулю:
(x^2+8x+12)/(x+4)^2=0
x^2+8x+12=0
D=8^2-4*1*12=16
x1=(-8-4)/2=-6
x2=(-8+4)/2=-2
____+____-6_____-_____-2_____+____
                 max.              min.

Функция возрастает на промежутках: x e (-беск.;-6)U(-2;+беск.)
Убывает: x e (-6;2)

Answer 2

Для найти промежутки монотонности функции f(x) = (x² + 3x) / (x + 4), мы можем использовать производную функции и исследовать ее знаки. Производная f'(x) будет показывать, когда функция возрастает или убывает.

1. Начнем с нахождения производной f'(x):

f(x) = (x² + 3x) / (x + 4)

Используем правило дифференцирования частного:

f'(x) = [(x + 4) * (2x + 3) - (x² + 3x) * 1] / (x + 4)²

Упростим выражение:

f'(x) = (2x² + 8x + 3x + 12 - x² - 3x) / (x + 4)²

f'(x) = (x² + 5x + 12 - x² - 3x) / (x + 4)²

f'(x) = (2x + 12 - 3x) / (x + 4)²

f'(x) = (-x + 12) / (x + 4)²

2. Теперь исследуем знаки производной в интервалах. Знак производной будет определять, возрастает или убывает функция в этих интервалах:

a) Первый интервал (-бесконечность, -4): Выберем x = -5 (взять значение меньше -4), тогда: f'(-5) = (-(-5) + 12) / (-5 + 4)² = (5 + 12) / 1 = 17 > 0

Значит, на этом интервале производная положительна, и функция f(x) возрастает.

b) Второй интервал (-4, +∞): Выберем x = 0 (взять значение больше -4), тогда: f'(0) = (-(0) + 12) / (0 + 4)² = 12 / 16 = 3/4 > 0

Значит, на этом интервале производная также положительна, и функция f(x) возрастает.

Итак, функция f(x) = (x² + 3x) / (x + 4) возрастает на всей числовой прямой, за исключением точки x = -4, где она не определена из-за деления на ноль.

Answer 3

Для найти промежутки монотонности функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$, мы должны проанализировать производные функции. Для этого сначала найдем производную $f'(x)$ и затем проанализируем её знаки.

1. Начнем с нахождения производной $f'(x)$:

$f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$

Используем правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x + 4) \cdot (2x + 3) - (x^2 + 3x) \cdot 1}{(x + 4)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 + 11x + 12 - x^2 - 3x}{(x + 4)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 + 8x + 12}{(x + 4)^2}$

2. Теперь давайте найдем критические точки функции, то есть значения $x$, при которых $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует. Для этой функции $f'(x)$ всегда существует, так как деление на $(x + 4)^2$ не приводит к нулю. Таким образом, мы ищем решение уравнения $f'(x) = 0$:

$x^2 + 8x + 12 = 0$

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или факторизации. Факторизация дает:

$(x + 6)(x + 2) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x = -6$ и $x = -2$

3. Теперь посмотрим на интервалы между этими критическими точками и за пределами этих точек. Для этого можно построить таблицу знаков производной $f'(x)$:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -6) & (-6, -2) & (-2, \infty) \\ \hline f'(x) & + & ? & + \\ \hline \end{array}$$

Здесь "+" обозначает положительное значение производной, "?" означает, что нам нужно определить знак на этом интервале. Чтобы определить знак внутри интервала $(-6, -2)$, можно взять произвольную точку, например, $x = -4$, и подставить её в производную $f'(x)$:

$f'(-4) = \frac{(-4)^2 + 8(-4) + 12}{(-4 + 4)^2} = \frac{16 - 32 + 12}{0^2} = \frac{-4}{0}$

Знаменатель равен нулю, что означает, что производная $f'(x)$ не определена внутри интервала $(-6, -2)$. Поэтому на этом интервале производная не имеет знака.

Теперь мы можем определить промежутки монотонности функции $f(x)$:

• Функция $f(x)$ монотонно возрастает на интервале $(-4, -2)$.
• Функция $f(x)$ монотонно убывает на интервале $(-\infty, -4)$ и $(-2, \infty)$.
• На интервале $(-6, -2)$ производная $f'(x)$ не существует, и поэтому функция $f(x)$ не монотонна на этом интервале.

Это промежутки монотонности функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 4}$.