Question

Найти общий вид первообразной для функции f(x)=4/x^2 - x^2/3 -6x + 2

Answer 1

F(x)=∫(4*x^(-2)-x²/3-6x+2)dx=4*x^(-2+1)/(-2+1)-x³/3/3-6x²/2+2x+c=
=4x^(-1)/(-1)-x³/9-3x²+2x+c=-4/x-x³/9-3x²+2x+c

Answer 2

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, вы должны проинтегрировать каждый член функции по отдельности. Вот, как это делается:

$$\begin{align*} f(x) &= \frac{4}{x^2} - \frac{x^2}{3} - 6x + 2 \\ \end{align*}$$

1. Интегрирование $4/x^2$:

$$\int \frac{4}{x^2} \,dx = 4 \int x^{-2} \,dx = -4x^{-1} + C_1,$$

где $C_1$ - произвольная постоянная.

2. Интегрирование $-x^{2}/3$:

$$\int \left(-\frac{x^{2}}{3}\right) \,dx = -\frac{1}{3} \int x^{2} \,dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C_2,$$

где $C_2$ - еще одна произвольная постоянная.

3. Интегрирование $-6x$:

$$\int (-6x) \,dx = -6 \int x \,dx = -3x^2 + C_3,$$

где $C_3$ - еще одна произвольная постоянная.

4. Интегрирование константы $2$:

$$\int 2 \,dx = 2x + C_4,$$

где $C_4$ - еще одна произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти первообразную функции $f(x)$, объедините все эти результаты:

$$\int f(x) \,dx = (-4x^{-1} + C_1) + \left(-\frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C_2\right) + (-3x^2 + C_3) + (2x + C_4).$$

Сгруппируйте постоянные $C_1$, $C_2$, $C_3$, и $C_4$:

$$\int f(x) \,dx = -4x^{-1} - \frac{1}{9}x^3 - 3x^2 + 2x + (C_1 + C_2 + C_3 + C_4).$$

Теперь объедините все постоянные в одну константу $C$:

$$\int f(x) \,dx = -4x^{-1} - \frac{1}{9}x^3 - 3x^2 + 2x + C.$$

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{x^2}{3} - 6x + 2$