Question

Дана функция f(x)=-x3степень+3x+2 а) Найти промежутки возрастания и убывания функции. б) Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1;3] Установите какая из функций F(x)= sin; F(x)= - sinx; F(x)= cosx; F(x)= - cosx является одной из первообразных функций f(x)= - cosx на промежутке x ∈ (- ∞; + ∞) Запишите общий вид первообразной для функции f(x), если а) f(x)= 1деленное на x3степени б) f(x)= 7 в) f(x)= 1деленное на sin2степени x г) f(x) = sinx Для функции f(x) найдите первообразную график которой проходит через точку М,если f(x)= x-10деленное на x6степени, М(1; 1деленное на 2). помогите пожалуйста,как можно подробнее)))

Answer 1

2)Для функции f ( x) =-cost первообразной будет у= - sinx
3) a)-1/ 2x^2
б) 7х
в) -ctgx
г) cos x
4)F (x) = x^2/2 +2/x^5 + C
Подставляет значения точки (1; 0,5)
0,5 = 1/2+2 + С
С = -2
Ответ: F ( x)= x^2/2 + 2/x^5 -2

Answer 2

Давайте по порядку решим задачи:

а) Найдем промежутки возрастания и убывания функции f(x).

Для этого нам понадобятся значения производной функции f'(x). Найдем производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

f(x) = -x^3 + 3x + 2

f'(x) = d/dx (-x^3 + 3x + 2) = -3x^2 + 3

Теперь приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

-3x^2 + 3 = 0

x^2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

x = 1 и x = -1

Теперь составим таблицу знаков производной:

Copy code
 x < -1    |    -1 < x < 1    |    x > 1

---

f'(x) < 0 | f'(x) > 0 | f'(x) > 0 (убывание) | (возрастание) | (возрастание)

Таким образом, функция f(x) убывает на интервале (-∞, -1], возрастает на интервале [-1, 1] и также возрастает на интервале [1, +∞].

б) Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке [1, 3].

Для этого нам необходимо найти значения функции на концах интервала и в критических точках (там, где производная равна нулю).

f(1) = -(1)^3 + 3(1) + 2 = 4

f(3) = -(3)^3 + 3(3) + 2 = 8 - 27 + 6 = -13

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [1, 3] равно 4 (достигается в точке x = 1), а наименьшее значение равно -13 (достигается в точке x = 3).

в) Определим, какая из функций F(x) = sinx, F(x) = -sinx, F(x) = cosx, F(x) = -cosx является первообразной функцией для f(x) = -cosx на промежутке x ∈ (-∞, +∞).

Для этого найдем производную каждой из функций F(x) и сравним ее с f(x) = -cosx:

F(x) = sinx => F'(x) = cosx

F(x) = -sinx => F'(x) = -cosx

F(x) = cosx => F'(x) = -sinx

F(x) = -cosx => F'(x) = sinx

Таким образом, функция F(x) = -sinx является первообразной для f(x) = -cosx на промежутке x ∈ (-∞, +∞).

г) Запишем общий вид первообразной для функции f(x) для каждого из случаев:

а) f(x) = 1 / x^3

Если f(x) = 1 / x^3, то её первообразной будет функция F(x) = -1 / (2x^2) + C, где C - произвольная постоянная.

б) f(x) = 7

Если f(x) = 7 (постоянная функция), то её первообразной будет функция F(x) = 7x + C, где C - произвольная постоянная.

в) f(x) = 1 / sin^2(x)

Если f(x) = 1 / sin^2(x), то её первообразной будет функция F(x) = -cot(x) + C, где C - произвольная постоянная.

г) f(x) = sin(x)

Если f(x) = sin(x), то её первообразной будет функция F(x) = -cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.

д) Найдем первообразную функции f(x) = (x - 1) / x^6, проходящую через точку М(1, 1/2).

Для этого проинтегрируем f(x) от x = 1 до x и подставим условие F(1) = 1/2:

∫[(x - 1) / x^6] dx = F(x) = -1 / 5x^5 + C

Теперь найдем значение постоянной C, используя условие F(1) = 1/2:

F(1) = -1 / 5(1)^5 + C = -1 / 5 + C = 1 / 2

C = 1 / 2 + 1 / 5 = (5 + 2) / 10 = 7 / 10

Таким образом, первообразная функции f(x) = (x - 1) / x^6, проходящая через точку М(1, 1/2), имеет вид:

F(x) = -1 / 5x^5 + 7 / 10.