Question

График первообразной F1 для функции f проходит через точку M, а первообразной, а первообразной F2 через точку N. Укажите разность этих первообразных, как расположены графики этих первообразных, если f(x)=9x^2- 16x+6, M(-1;1) N(0;23)

Answer 1

Графики F₁(х)  и  F₂(х) совпадают.

Answer 2

Для функции $f(x) = 9x^2 - 16x + 6$ найдем ее первообразную $F(x)$ через интегрирование:

$F(x) = \int f(x) \, dx = \int (9x^2 - 16x + 6) \, dx$

$F(x) = 3x^3 - 8x^2 + 6x + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

Для первообразной $F_1$ проходящей через точку $M(-1, 1)$, найдем значение $C_1$:

$F_1(-1) = 3(-1)^3 - 8(-1)^2 + 6(-1) + C_1 = -3 - 8 - 6 + C_1 = -17 + C_1 = 1$

$C_1 = 18$

Таким образом, первообразная $F_1$ будет:

$F_1(x) = 3x^3 - 8x^2 + 6x + 18$

Аналогично, для первообразной $F_2$ проходящей через точку $N(0, 23)$, найдем значение $C_2$:

$F_2(0) = 3(0)^3 - 8(0)^2 + 6(0) + C_2 = C_2 = 23$

Таким образом, первообразная $F_2$ будет:

$F_2(x) = 3x^3 - 8x^2 + 6x + 23$

Разность первообразных $F_2(x) - F_1(x)$ будет:

$F_2(x) - F_1(x) = (3x^3 - 8x^2 + 6x + 23) - (3x^3 - 8x^2 + 6x + 18) = 5$

Графики первообразных $F_1(x)$ и $F_2(x)$ будут параллельными линиями, так как их коэффициенты перед $x^3$, $x^2$ и $x$ одинаковы, за исключением постоянного члена. Эти графики будут отличаться на постоянную величину 5 единиц по вертикальной оси, что видно из разности $F_2(x) - F_1(x)$.