Question

Помогите пожалуйста))) Нужно исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график: y = х^3/3 – х^2 – 3хДля исследования функции и построения ее графика воспользуемся схемой:1. Найти область определения функции;2. Проверить четность, нечетность, периодичность функции;3. Найти нули функции, точки пересечения графика с осями координат (если это возможно)4. Найти асимптоты графика функции;5. Найти промежутки возрастания и убывания функции, ее экстремумы;6. Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба;7. Построить график функции, используя результаты исследования.Для более точного построения можно найти дополнительные точки графика, вычислив значения функции в некоторых точках.

Answer 1

Ответ:

=================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте начнем с исследования функции $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x$ согласно вашему списку шагов:

1. Область определения функции: Функция $y$ определена для всех действительных чисел $x$. То есть, область определения функции - это $\mathbb{R}$.

2. Четность, нечетность, периодичность функции: Посмотрим на поведение функции относительно $x$ и $-x$:

   • Функция не является четной ($f(x) \neq f(-x)$), так как $f(x)$ и $f(-x)$ не совпадают.
   • Функция не является нечетной ($f(x) \neq -f(-x)$), так как $f(x)$ и $-f(-x)$ тоже не совпадают.
   • Функция также не периодична.

3. Нули функции и точки пересечения с осями координат: Нули функции можно найти, решив уравнение $y = 0$:

   $\frac{x^3}{3} - x^2 - 3x = 0$

   Факторизуем:

   $x(x^2/3 - x - 3) = 0$

   $x = 0$ или $x^2/3 - x - 3 = 0$

   Решим второе уравнение численно, и получим приближенные значения для нулей.

   Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

   • $x$-ось: $y = 0$ при $x = 0$.
   • $y$-ось: $x = 0$.

4. Асимптоты графика функции: Посмотрим на асимптоты функции.

   • Горизонтальная асимптота: Поскольку при $x$ стремящемся к бесконечности, функция также стремится к бесконечности, нет горизонтальной асимптоты.
   • Вертикальная асимптота: Найдем вертикальную асимптоту, решив уравнение $x^2/3 - x - 3 = 0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы: Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также экстремумов, нужно найти производную функции и решить уравнение $f'(x) = 0$:

   $f'(x) = x^2 - 2x - 3$

   Решим $x^2 - 2x - 3 = 0$, чтобы найти критические точки. Затем используем знак производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба: Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба, нужно найти вторую производную функции и решить уравнение $f''(x) = 0$.

7. Построение графика функции: Собрав всю информацию, постройте график функции $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x$, используя найденные нули, асимптоты, точки пересечения с осями, промежутки возрастания и убывания, экстремумы, промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Вы также можете вычислить дополнительные точки графика, подставив значения $x$ в функцию $y$.

Не забудьте найти вертикальную асимптоту и провести анализ знака производных и вторых производных для более точного построения графика.