Question

Исследовать функцию по предложенной схеме и построить ее график: 1. Найти область определения функции. 2. Исследовать на четность и нечетность. 3. Исследовать на периодичность. 4. Найти стационарные и критические точки первого рода. 5. Найти промежутки возрастания и убывания функции, экстремум. 6. Найти стационарные и критические точки второго рода. 7. Найти промежутки выпуклости функции, точки перегиба. 8. Найти асимптоты (вертикальные, горизонтальные, наклонные). 9. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 10.Найти дополнительные точки. 11. По результатам исследования построить график функции. а) y = -x^3+3x^2+9x б) y = (x^2-1)/(3x+5)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте начнем с исследования функции по заданной схеме.

а) Функция: y = -x^3 + 3x^2 + 9x

1. Область определения функции: Функция является многочленом и определена для всех действительных значений x. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел, т.е. (-∞, +∞).

2. Четность и нечетность: Функция является нечетной, так как при замене x на -x значение функции меняет знак: f(-x) = -(-x)^3 + 3(-x)^2 + 9(-x) = -(-x^3 + 3x^2 - 9x) = -f(x).

3. Периодичность: Функция не является периодической, так как нет такого значения T, для которого f(x+T) = f(x) для всех x.

4. Стационарные и критические точки первого рода: Чтобы найти стационарные точки, необходимо найти точки, где производная функции равна нулю: f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = 0. Решив это уравнение, получим: -3x^2 + 6x + 9 = 0 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 Таким образом, стационарные точки первого рода: x = 3 и x = -1.

5. Промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы: Для определения промежутков возрастания и убывания функции, а также экстремумов, необходимо проанализировать знак производной функции. Построим таблицу знаков производной:

   x | -∞ | -1 | 3 | +∞

   f'(x)| - | + | - | +

   Исходя из таблицы, функция возрастает на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞), и убывает на интервале (-1, 3). Таким образом, экстремумы функции: минимум на x = -1 и максимум на x = 3.

6. Стационарные и критические точки второго рода: Чтобы найти стационарные точки второго рода, необходимо проанализировать знак второй производной функции: f''(x) = -6x + 6. Заметим, что вторая производная является линейной функци