Question

В уравнении 4x²+49x+4k=0 найти то значение k, при котором его корни x_{1} и x_{2} удовлетворяют уравнению 12 x_{1} + 8 x_{2}=-95

Answer 1

4x² + 49x + 4k = 0
12 x₁ + 8 x₂ = - 95
Решаем первое уравнение как самое обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант, учитывая, что член c равен 4k

D=49² - 4*4*4*k = 49² - 64k
D≥0, k≤49²/64, k≤37,515625  (Дискриминант должен быть неотрицательным, чтоб был хотя бы один корень)
Находим корни в общем виде, с неизвестным пока дискриминантом.
x₁ = (-49-√D)/8, x₂ = (-49+√D)/8
Подставляем эти корни во второе уравнение
12( (-49-√D)/8) + 8 ((-49+√D)/8) = -95
-147 - 3√D - 98 + 2√D = - 190
-√D = 55
√D = - 55 (такого быть не может, корень из любого числа неотрицателен).
Но при возведении в квадрат получаем 
D = (-55)² = 3025
Подставляем это значение в выражение для дискриминанта, полученное в самом начале решения 
D= 49² - 64k = 3025
Отсюда находим k
k = - 624/64 = - 39/4
И это значение k соответствует условию неотрицательности дискриминанта
k= - 39/4 ≤ 37,515625 

Проверка
Подставляем значение √D = - 55 в формулы для корней.
x₁ = (-49+55)/8 = 3/4
x₂ = (-49-55)/8 = - 13
12*(3/4) + 8*(-13) = - 95

Все сходится! 
Надо учесть, что при вычислении первого корня берется - √D, то есть + 55, а для второго корня, наоборот +√D, то есть -55
 

Answer 2

Для нахождения значения k, при котором корни уравнения 4x² + 49x + 4k = 0 удовлетворяют уравнению 12x₁ + 8x₂ = -95, мы можем воспользоваться методом Виета.

Сначала найдем корни x₁ и x₂ уравнения 4x² + 49x + 4k = 0. У нас есть следующая формула для корней квадратного уравнения:

x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a),

где a = 4, b = 49, и c = 4k.

Теперь, давайте найдем сначала значение x₁ и x₂:

x₁ = (-49 + √(49² - 444k)) / (24) = (-49 + √(2401 - 64k)) / 8, x₂ = (-49 - √(49² - 444k)) / (24) = (-49 - √(2401 - 64k)) / 8.

Теперь мы можем воспользоваться уравнением 12x₁ + 8x₂ = -95 и подставить в него найденные значения x₁ и x₂:

12((-49 + √(2401 - 64k)) / 8) + 8((-49 - √(2401 - 64k)) / 8) = -95.

Теперь упростим это уравнение:

12(-49 + √(2401 - 64k)) - 8(49 + √(2401 - 64k)) = -95.

Теперь раскроем скобки и упростим:

-588 + 12√(2401 - 64k) - 392 - 8√(2401 - 64k) = -95.

Теперь объединим подобные члены:

-588 - 392 = -95.

-980 = -95.

Теперь решим это уравнение:

-980 = -95.

Переносим -95 на другую сторону уравнения:

-980 + 95 = 0.

-885 = 0.

Уравнение -885 = 0 не имеет решений в действительных числах. Это означает, что нет такого значения k, при котором корни x₁ и x₂ удовлетворяют уравнению 12x₁ + 8x₂ = -95.