Question

Помагите : Докажите что для любого натурального n верно равенство : (n-1)!+n!+(n+1)!= (n+1)^2(n-1)!

Answer 1

$(n-1)!+n!+(n+1)!=(n-1)!+n(n-1)!+n(n+1)(n-1)!=$
$=[1+n+n(n+1)]*(n-1)!=[n^2+2n+1](n-1)!=$
$=(n+1)^2(n-1)!$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы будем использовать индукцию по натуральному числу n.

1. Базовый случай (n = 1):

Для n = 1 у нас есть:

(n-1)! + n! + (n+1)! = 0! + 1! + 2! = 1 + 1 + 2 = 4

И

(n+1)^2 * (n-1)! = 2^2 * 0! = 4 * 1 = 4

Оба значения равны 4, поэтому базовый случай верен.

2. Индукционное предположение:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, т.е.:

(k-1)! + k! + (k+1)! = (k+1)^2 * (k-1)!

3. Индукционный шаг:

Теперь докажем, что утверждение также верно для n = k + 1. Мы должны показать, что:

(k)! + (k+1)! + (k+2)! = (k+2)^2 * (k)!

Давайте начнем с левой стороны:

(k)! + (k+1)! + (k+2)! = k! + (k+1)! + (k+1)(k+1)! (так как (k+2)! = (k+2)(k+1)! )

Теперь мы можем использовать индукционное предположение:

k! + (k+1)! + (k+1)(k+1)! = (k+1)^2 * k! + (k+1)(k+1)! (подставляем из индукционного предположения)

Теперь давайте вынесем общий множитель (k+1)!:

(k+1)! * [(k+1) + (k+1)^2] = (k+1)! * (k+1)(k+1+1)

Теперь мы видим, что это равно правой стороне (k+2)^2 * k!. Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1.

По индукции, утверждение верно для всех натуральных n.