Question

Решите неравенства. 1) |x^2 + 3x - 5 |  |x^2 - 7x + 5| 2) |5x^2 - x|  |x-5| * |x+2|

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Давайте решим данные неравенства поочередно.

1. Решение неравенства $|x^2 + 3x - 5| \leq |x^2 - 7x + 5|$:

Начнем с выражения в модулях:

$x^2 + 3x - 5$ и $x^2 - 7x + 5$.

Чтобы найти точки пересечения этих функций, приравняем их:

$x^2 + 3x - 5 = x^2 - 7x + 5$.

Решаем уравнение:

$10x = 10$.

Отсюда получаем $x = 1$.

Теперь проверим знаки в интервалах между этими точками и за ними:

1. $x < 1$: Подставим $x = 0$ в выражения:

   • $|0^2 + 3 \times 0 - 5| = 5$,
   • $|0^2 - 7 \times 0 + 5| = 5$.

   Так как $5 \leq 5$, это удовлетворяет неравенству.

2. $x > 1$: Подставим $x = 2$ в выражения:

   • $|2^2 + 3 \times 2 - 5| = 7$,
   • $|2^2 - 7 \times 2 + 5| = 7$.

   Так как $7 \leq 7$, это тоже удовлетворяет неравенству.

Итак, решение неравенства: $x \in (-\infty, 1] \cup [1, +\infty)$.

2. Решение неравенства $|5x^2 - x| \leq |x-5| \times |x+2|$:

Для упрощения неравенства разберемся с выражениями в модулях.

Первое выражение: $|5x^2 - x|$.

Второе выражение: $|x-5| \times |x+2|$.

Теперь рассмотрим три интервала:

1. $x < -2$: Подставим $x = -3$ в выражения:

   • $|5(-3)^2 - (-3)| = 42$,
   • $|-3 - 5| \times |-3 + 2| = 8$.

   Условие не выполняется ($42 \nleq 8$), поэтому этот интервал не удовлетворяет неравенству.

2. $-2 < x < 5$: В этом интервале обе переменные находятся внутри модулей, так что модули не влияют на знак. Проверим неравенство без модулей:

   $|5x^2 - x| \leq |x-5| \times |x+2|$ становится $5x^2 - x \leq (x-5)(x+2)$.

   Решим это уравнение:

   $5x^2 - x \leq x^2 - 3x - 10$ \ $4x^2 + 2x - 10 \leq 0$ \ $2x^2 + x - 5 \leq 0$.

   Решение этого неравенства: $x \in [-2, 1.25] \cup [2.05, 5]$.

3. $x > 5$: Подставим $x = 6$ в выражения:

   • $|5 \times 6^2 - 6| = 174$,
   • $|6 - 5| \times |6 + 2| = 48$.

   Условие не выполняется ($174 \nleq 48$), поэтому этот интервал не удовлетворяет неравенству.

Итак, решение неравенства: $x \in [-2, 1.25] \cup [2.05, 5]$.