Question

РЕШИТЕ СРОЧНО!!! №1. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: a)y=2x + 50/x - 1, [1;10] б)y=8 - 5x, [-1;1] в)y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2] г)y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1] №2. Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей. №3. Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей?

Answer 1

1
а)y`=2-50/x²=0
x²=25
x=-5∉[1;10]
x=5
y(1)=2+50-1=51 наиб
у(5)=10+10-1=19 наим
у(10)=20+5-1=24
б)у(-1)=13 наиб
у(1)=3 наим
в)y`=sinx=0
x=0∉[π/3;3π/2]
y(π/3)=3-0,5=2,5 наим
y(3π/2)=3-0=3 наиб
г)y`=2x-x²=x(2-x)=0
x=0  x=2
          _                      +
----------------(0)-----------------------[2]
                  min
ymin=12
у max нет
2
х-1 слагаемое,9-х-2 слагаемое
у=2х+(9-х)²
y`=2-2(9-x)=0
2(9-x)=2
9-x=1
x=8
          _                  +
---------------(8)-----------------
                 min
ответ 1 слагаемое 8,а второе 1
3
Периметр 12 м,значит 2 стороны 6 м
1 сторона хм,а 2 сторона 6-хм
S=x(6-x)=6x-x²
s`=6-2x=0
2x=6
x=3
ответ размеры клумбы 3м *3м

Answer 2

№1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функций на заданных промежутках:

а) y = 2x + 50/x - 1, [1;10] Для нахождения экстремумов данной функции найдем её производную и приравняем её к нулю: y' = 2 - 50/x^2

Теперь найдем точки, где производная равна нулю: 2 - 50/x^2 = 0

Решим уравнение для x: 50/x^2 = 2 x^2 = 50/2 x^2 = 25 x = ±5

Теперь проверим значения функции на граничных точках [1;10] и найденных критических точках (-5 и 5):

y(1) = 21 + 50/1 - 1 = 2 + 50 - 1 = 51 y(10) = 210 + 50/10 - 1 = 20 + 5 - 1 = 24 y(-5) = 2*(-5) + 50/(-5) - 1 = -10 - 10 - 1 = -21 y(5) = 2*5 + 50/5 - 1 = 10 + 10 - 1 = 19

Наименьшее значение функции на заданном промежутке [1;10] равно -21 (при x = -5), а наибольшее значение равно 51 (при x = 1).

б) y = 8 - 5x, [-1;1] Функция y = 8 - 5x линейная, и её минимальное и максимальное значения будут на краях заданного промежутка: y(-1) = 8 - 5*(-1) = 8 + 5 = 13 y(1) = 8 - 5*1 = 8 - 5 = 3

Наименьшее значение функции на промежутке [-1;1] равно 13 (при x = -1), а наибольшее значение равно 3 (при x = 1).

в) y = 3 - cos(x), [π/3; 3π/2] Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение этой функции, нужно проанализировать косинусную функцию. Косинус имеет максимальное значение 1 при x = 0 и минимальное значение -1 при x = π, так что:

y(π/3) = 3 - cos(π/3) = 3 - 0.5 = 2.5 y(3π/2) = 3 - cos(3π/2) = 3 - (-1) = 4

Наименьшее значение функции на промежутке [π/3; 3π/2] равно 2.5 (при x = π/3), а наибольшее значение равно 4 (при x = 3π/2).

г) y = 12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1] Для нахождения наибольшего значения на этом промежутке, найдем производную функции: y' = 2x - x^2

Чтобы найти экстремум, приравняем производную к нулю: 2x - x^2 = 0

Решим уравнение: x(2 - x) = 0

x = 0 или x = 2

Теперь проверим значения функции на бесконечности и найденных критических точках:

y(x → -∞) = 12 + (-∞)^2 - (-∞)^3/3 = -∞ y(0) = 12 + 0 - 0 = 12 y(2) = 12 + 2^2 - 2^3/3 = 12 + 4 - 8/3 = 12 + 12/3 - 8/3 = 16/3

Наибольшее значение функции на заданном промежутке (-∞; 1] равно 16/3 (при x = 2), а минимальное значение -∞, так как функция не ограничена снизу.

№2. Представим число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей:

Пусть первое слагаемое равно x, а второе слагаемое равно 9 - x, так как оба слагаемых должны быть положительными и их сумма равна 9.

Теперь мы хотим минимизировать выражение 2x + (9 - x)^2:

2x + (9 - x)^2 = 2x + (81 - 18x + x^2) = x^2 - 16x + 81

Для минимизации найдем производную и приравняем её к нулю:

d/dx (x^2 - 16x + 81) = 2x - 16 = 0

2x = 16 x = 8

Теперь найдем второе слагаемое:

9 - x = 9 - 8 = 1

Таким образом, 9 можно представить в виде суммы двух положительных слагаемых таким образом: 9 = 8 + 1, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей.

№3. Для нахождения максимальной площади прямоугольной клумбы с заборчиком длиной 12 м, мы должны определить, какие должны быть её размеры.

Пусть длина клумбы будет x метров, а ширина будет y метров. Таким образом, у нас есть две переменные x и y, и они связаны уравнением периметра:

2x + 2y = 12

Из этого уравнения можно выразить y:

2y = 12 - 2x y = 6 - x

Теперь мы хотим максимизировать площадь клумбы, которая равна произведению длины на ширину:

Площадь (S) = x * y = x * (6 - x)

Для максимизации площади найдем производную S по x и приравняем её к нулю:

dS/dx = 6 - 2x = 0

2x = 6 x = 3

Теперь найдем значение y:

y = 6 - x = 6 - 3 = 3

Таким образом, размеры клумбы, при которых её площадь будет наибольшей, составляют 3 метра в длину и 3 метра в ширину.