Question

№1. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: a)y=2x + 50/x - 1, [1;10] б)y=8 - 5x, [-1;1] в)y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2] г)y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1] №2. Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей. №3. Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей?

Answer 1

№1.

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
a) y = (2x + 50)/(x - 1), [1;10] 
Это гипербола у = 52/(х - 1) + 2 с точкой разрыва х = 1.
Максимума функция не имеет, в том числе и на заданном промежутке.
Минимум на заданном промежутке при х = 10, у = 70/9.

б) y=8 - 5x, [-1;1]. Это прямая, функция убывающая.
Максимум на заданном промежутке при х = -1, у = 8+5=13.
Минимум на заданном промежутке при х = 1, у = 8-5 = 3.

в) y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2].
    При х = π cos = -1, тогда у = 3 + 1 = 4. Это максимум.
    Минимум равен 5/2 при х = π/3.

г)y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1]
   Производная y' = -x²+2x = -x(x - 2).
   Приравняв нулю, имеем 2 критические точки х = 0 и х = 2.
   У функции есть локальный максимум при х = 2 у = 40/3,
                                                  минимум при х = 0. у = 12.
Глобальных минимума и максимума нет.


№2.

Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей.
у = 2х + (9-х)² = 2x + 81 - 18x + x² = x² - 16x + 81.
y' = 2x - 16 = 2(x -8).
Приравняем производную нулю: 2(x -8) = 0,   х = 8.
Проверяем: 2*8 + 1 = 17.
х = 5    у = 2*5 + 9 = 19.
Значит, первое слагаемое 1, а второе 8.
у = 2 + 64 = 66.
Проверим х = 2, у = 4 + 49 = 53 правильно.

№3.

Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей?
Максимум площади при заданном периметре - у квадрата.
S = (12/4)² = 9 м².

Answer 2

№1. Для каждой функции, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на заданном промежутке, нужно сначала найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует) и концы интервала, а затем проверить значения функции в этих точках и на концах интервала.

a) y = 2x + 50/x - 1, [1;10]: Производная функции: y' = 2 - 50/x^2.

Критические точки: Чтобы найти точки, где производная равна нулю, решим уравнение: 2 - 50/x^2 = 0, 50/x^2 = 2, x^2 = 25, x = ±5.

Теперь проверим значения функции в критических точках и на концах интервала: y(1) = 21 + 50/1 - 1 = 51, y(5) = 25 + 50/5 - 1 = 11, y(10) = 2*10 + 50/10 - 1 = 19.

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном интервале [1;10] равно 51 (достигается при x = 1), а наименьшее значение равно 11 (достигается при x = 5).

б) y = 8 - 5x, [-1;1]: Функция y = 8 - 5x является линейной, и наименьшее и наибольшее значения будут на концах интервала.

y(-1) = 8 - 5*(-1) = 13, y(1) = 8 - 5*1 = 3.

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном интервале [-1;1] равно 13 (достигается при x = -1), а наименьшее значение равно 3 (достигается при x = 1).

в) y = 3 - cos x, [π/3; 3π/2]: Производная функции: y' = sin x.

Критические точки: Точки, где производная равна нулю, соответствуют значениям x, для которых sin x = 0. Это происходит при x = π, 2π, 3π и т.д.

Теперь проверим значения функции в критических точках и на концах интервала: y(π/3) = 3 - cos(π/3) = 3 - 1/2 = 5/2, y(π) = 3 - cos(π) = 3 + 1 = 4, y(3π/2) = 3 - cos(3π/2) = 3 + 1 = 4.

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном интервале [π/3; 3π/2] равно 5/2 (достигается при x = π/3), а наименьшее значение равно 4 (достигается при x = π и x = 3π/2).

г) y = 12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1]: Производная функции: y' = 2x - x^2.

Критические точки: Точки, где производная равна нулю, соответствуют значениям x, для которых 2x - x^2 = 0. Это происходит при x = 0 и x = 2.

Теперь проверим значения функции в критических точках и на концах интервала: y(0) = 12 + 0 - 0 = 12, y(1) = 12 + 1 - 1/3 = 36/3 = 12, y(2) = 12 + 4 - 8/3 = 36/3 = 12.

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном интервале (-∞; 1] равно 12 (достигается при x = 0, x = 1 и x = 2), а наименьшее значение также равно 12.

№2. Чтобы представить число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей, нужно разложить 9 на два числа, а затем оптимизировать выражение для минимизации.

Пусть первое слагаемое равно x, а второе слагаемое равно y.

Тогда у нас есть следующая система уравнений: x + y = 9, (условие суммы двух слагаемых равной 9) 2x + y^2 = минимум. (условие минимизации)

Используя первое уравнение, мы можем выразить y через x: y = 9 - x.

Теперь подставим это значение y во второе уравнение и найдем минимум: 2x + (9 - x)^2 = 2x + (81 - 18x + x^2) = x^2 - 16x + 81.

Минимум квадратичной функции x^2 - 16x + 81 достигается в вершине параболы. Формула для координаты x вершины параболы вида ax^2 + bx + c: x = -b / (2a).

В нашем случае a = 1, b = -16, и c = 81, поэтому x = -(-16) / (2 * 1) = 16 / 2 = 8.

Теперь