Question

Найти интервалы монотонности функции f(x)=eˣ-e⁻ˣ

Answer 1

$f'(x)=e^x+e^{-x}$

Уравнение f'(x) = 0 не имеет решений при любом х∈(-∞; +∞).

Значит, функция монотонна на (-∞; +∞).

Т.к. при любом х $e^x+e^{-x} >0$, то f'(x) >0 на (-∞; +∞).

Следовательно, на (-∞; +∞) функция $f(x)= e^x-e^{-x}$ монотонно возрастает.

Answer 2

Чтобы найти интервалы монотонности функции $f(x) = e^x - e^{-x}$, давайте найдем производную функции и выясним ее знаки на различных интервалах.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}$

2. Теперь проанализируем знаки производной $f'(x)$. Заметим, что $e^x$ всегда положительно, и $e^{-x}$ также всегда положительно, поскольку экспонента с отрицательным аргументом также всегда положительна.

Таким образом, $f'(x) = e^x + e^{-x}$ всегда положительна для всех реальных значений $x$, потому что сумма положительных чисел всегда положительна.

Таким образом, функция $f(x) = e^x - e^{-x}$ возрастает на всей области своего определения, то есть на интервале $(-∞, +∞)$.