Question

Помогите пожалуйста. Даю 80 баллов. Найдите значаение выражения tgx/1-tg^2x + ctgx/1-ctg^2x

Answer 1

$\displaystyle \frac{tgx}{1-tg^2x}+ \frac{ctgx}{1-ctg^2x}=\\\\*******************\\\\tg2x= \frac{2tgx}{1-tg^2x}= \frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\\\\**********************\\\\= \frac{2*tgx}{2(1-tg^2x)}+ \frac{2ctgx}{2(-(ctg^2x-1))}= \frac{1}{2}tg2x- \frac{1}{2}tg2x=0$

Answer 2

Для нахождения значения выражения tg(x)/(1-tg^2(x)) + ctg(x)/(1-ctg^2(x)), давайте разберемся с ним по частям. Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить его.

1. Рассмотрим первый член tg(x)/(1-tg^2(x)):

tg(x)/(1-tg^2(x)) = tg(x)/((1-tg(x))(1+tg(x)))

Используя тождество 1+tg^2(x) = 1/1-tg^2(x), мы можем записать:

tg(x)/((1-tg(x))(1+tg(x))) = tg(x)/(1-tg(x)) * (1/1+tg(x))

Теперь рассмотрим второй член ctg(x)/(1-ctg^2(x)):

ctg(x)/(1-ctg^2(x)) = ctg(x)/((1-ctg(x))(1+ctg(x)))

Используя тождество 1+ctg^2(x) = 1/1-ctg^2(x), мы можем записать:

ctg(x)/((1-ctg(x))(1+ctg(x))) = ctg(x)/(1-ctg(x)) * (1/1+ctg(x))

Теперь мы видим, что оба члена имеют похожий вид, и мы можем объединить их:

tg(x)/(1-tg(x)) * (1/1+tg(x)) + ctg(x)/(1-ctg(x)) * (1/1+ctg(x))

Теперь, если мы обозначим tg(x) как y и ctg(x) как z, мы получим:

y/(1-y) * (1/1+y) + z/(1-z) * (1/1+z)

Теперь мы можем вычислить это выражение для y и z, а затем подставить обратно tg(x) и ctg(x):

Таким образом, выражение равно:

y/(1-y) * (1/1+y) + z/(1-z) * (1/1+z) = y(1+y) + z(1+z) = y + y^2 + z + z^2

Теперь подставим обратно tg(x) и ctg(x):

tg(x) + tg^2(x) + ctg(x) + ctg^2(x)

Таким образом, значение выражения tg(x)/(1-tg^2(x)) + ctg(x)/(1-ctg^2(x)) равно tg(x) + tg^2(x) + ctg(x) + ctg^2(x).