Question

На фабриці, що виготовляє олівці, брак складає 3%. Яка ймовірність того, що при покупці 5 олівців принаймні 2 будуть якісними?

Answer 1

Вероятность успеха в одном испытании, равна p=0.03, вероятность q=1-p=1-0.03 = 0.97.

Вероятность того, что при покупке 5 карандашей хотя бы 2 будут без брака, по формуле Бернулли, равна:

$P\{\xi \leq 2\}=q^5+C^1_5pq^4+C^2_5p^2q^3\approx 0.86+0.13+0.008=0.998$

Answer 2

Для вирішення цього завдання використаємо біноміальний розподіл, оскільки ми маємо два можливих результати для кожного олівця: якісний (успіх) або бракований (невдача). Ймовірність браку складає 3%, отже ймовірність успіху (якісний олівець) буде 1 - 3% = 97% або 0,97.

Позначимо:

• n - кількість олівців (у нашому випадку n = 5)
• k - кількість якісних олівців (мінімум 2 якісні)

Щоб знайти ймовірність того, що принаймні 2 з 5 олівців будуть якісними, ми маємо врахувати кількість успіхів k, яка може бути 2, 3, 4 або 5. Для кожної з цих кількостей успіхів обчислимо ймовірність та просумуємо їх.

Ймовірність успіху (якісний олівець): p = 0,97

Ймовірність невдачі (бракований олівець): q = 1 - p = 0,03

Тепер знайдемо ймовірність того, що принаймні 2 з 5 олівців будуть якісними:

1. Два якісних олівці (k = 2): P(2 якісних олівці) = C(5, 2) * (0,97)^2 * (0,03)^(5-2) = 10 * 0,97^2 * 0,03^3

2. Три якісних олівці (k = 3): P(3 якісних олівці) = C(5, 3) * (0,97)^3 * (0,03)^(5-3) = 10 * 0,97^3 * 0,03^2

3. Чотири якісних олівці (k = 4): P(4 якісних олівці) = C(5, 4) * (0,97)^4 * (0,03)^(5-4) = 5 * 0,97^4 * 0,03

4. П'ять якісних олівців (k = 5): P(5 якісних олівці) = C(5, 5) * (0,97)^5 * (0,03)^(5-5) = 0,97^5

Отже, сумарна ймовірність принаймні 2 якісних олівців: P(принаймні 2 якісні олівці) = P(2 якісних олівців) + P(3 якісних олівців) + P(4 якісних олівців) + P(5 якісних олівців)