Question

Сума другого і третього членів геометричної прогресії дорівнює 30, а різниця четвертого і другого становить 90. Знайти п'ятий член геометричної прогресії.

Answer 1

B2 + b3 = 30
b4 - b2 = 90

b5 = ?

b1*q + b1*q^2 = 30
b1*q^3 - b1*q = 90

b1*q*(1 + q) = 30
b1*q(q^2 - 1) = 90

b1*q*(1 + q) = 30
b1*q*(q - 1)*(q + 1) = 90

Поделим второе уравнение на первое:
q - 1 = 3
q = 4
b1 = 30/(q + q^2) = 30/(4 + 4^2) = 30/20 = 3/2

b5 = b1*q^4 = 3/2 * 4^4 = 3/2 * 256 = 3*128 = 384
Ответ: 384.

Answer 2

Давайте позначимо перший член геометричної прогресії через "a", а знаменник геометричної прогресії через "r". Тоді:

Другий член геометричної прогресії буде a * r, Третій член - a * r^2, Четвертий член - a * r^3, П'ятий член - a * r^4.

Ми знаємо, що сума другого і третього членів дорівнює 30:

a * r + a * r^2 = 30. (1)

Також нам відома різниця четвертого і другого членів, яка дорівнює 90:

a * r^3 - a * r = 90. (2)

Тепер ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (a і r). Ми можемо вирішити цю систему рівнянь.

Спростимо рівняння (1) і рівняння (2):

a * r + a * r^2 = 30, a * r * (1 + r) = 30. (3)

a * r^3 - a * r = 90, a * r * (r^2 - 1) = 90. (4)

Тепер поділимо рівняння (4) на рівняння (3):

(a * r * (r^2 - 1)) / (a * r * (1 + r)) = 90 / 30, (r^2 - 1) / (r * (1 + r)) = 3.

Зараз ми можемо розв'язати це рівняння для r:

(r^2 - 1) / (r * (1 + r)) = 3.

Розкриємо дроби:

(r^2 - 1) = 3 * r * (1 + r).

Розкриємо дужки:

r^2 - 1 = 3r + 3r^2.

Тепер приведемо це рівняння до квадратного виду:

3r^2 - r^2 - 3r - 1 = 0, 2r^2 - 3r - 1 = 0.

Зараз ми можемо вирішити це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

r = [3 ± √(3^2 - 4 * 2 * (-1))] / (2 * 2), r = [3 ± √(9 + 8)] / 4, r = [3 ± √17] / 4.

Отже, у нас є два можливих значення для r:

1. r = (3 + √17) / 4,
2. r = (3 - √17) / 4.

Тепер ми можемо знайти значення "a" за допомогою рівняння (3):

a * r * (1 + r) = 30.

1. Для r = (3 + √17) / 4:

a * [(3 + √17) / 4] * [1 + (3 + √17) / 4] = 30.

2. Для r = (3 - √17) / 4:

a * [(3 - √17) / 4] * [1 + (3 - √17) / 4] = 30.

Розв'яжемо обидва ці рівняння і знайдемо значення "a". Після знаходження "a" ми зможемо знайти п'ятий член геометричної прогресії, використовуючи формулу a * r^4.