Question

Если числитель дроби увеличить на 1/2 и на 2 , то дробь принимает соответственно значение 1/2 и 1. Найдите эту дробь

Answer 1

$\frac{x}{y}$ - искомая дробь

$\left \{ {{\frac{x+\frac{1}{2}}{y}=\frac{1}{2}} \atop {\frac{x+2}{y}=1}} \right.$

$\left \{ {{2x+1=y} \atop {x+2=y}} \right.$

Вычитаем из 1-го уравнения 2-е:

$2x+1-x-2=y-y$

$x=1$

$y=x+2=1+2=3$

Искомая дробь - $\frac{1}{3}$

Answer 2

Пусть исходная дробь равна $\frac{a}{b}$. Условие задачи можно записать в виде уравнений:

1. Увеличение числителя на $\frac{1}{2}$: $\frac{a + \frac{1}{2}}{b}$
2. Увеличение числителя на 2: $\frac{a + 2}{b}$

Согласно условию, обе эти дроби равны значениям $\frac{1}{2}$ и 1 соответственно:

1. $\frac{a + \frac{1}{2}}{b} = \frac{1}{2}$
2. $\frac{a + 2}{b} = 1$

Решим систему уравнений:

Уравнение 1:

$a + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}b$

Уравнение 2:

$a + 2 = b$

Из уравнения 1 выразим $a$: $a = \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение 2: $\frac{1}{2}b - \frac{1}{2} + 2 = b$

Упростим: $\frac{1}{2}b + \frac{3}{2} = b$

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей: $b + 3 = 2b$

Выразим $b$: $3 = b$

Теперь найдем $a$ с использованием уравнения 2: $a = \frac{1}{2}(3) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$

Таким образом, искомая дробь равна $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$.