Question

Докажите что 13^(2n+1) + 2*4^n при любых n =пренадлежит к= N кратно 5 срочно без метода подбора с решением

Answer 1

Еще решение :................................

Answer 2

${13}^{2n+1}+2*4^n=\\={13}^{2n+1}+2*{2}^{2n}=\\={13}^{2n+1}+{2}^{2n+1}$

Сумма степеней порядка 2n + 1
${a}^{2n+1}+{b}^{2n+1}=\\=(a+b)({a}^{2n}-{a}^{2n-1}b+{a}^{2n-2}{b}^{2}-...-a{b}^{2n-1}+{b}^{2n})$

${13}^{2n+1}+{2}^{2n+1}=\\= (13+2)({13}^{2n}-{13}^{2n-1}*2+{13}^{2n-2}*{2}^{2}-...-13*{2}^{2n-1}+{2}^{2n})$
Один из множителей - 15, который делится на 5. Следовательно, исходное выражение при любых n∈N делится на 5.

Answer 3

Давайте рассмотрим выражение $13^{2n+1} + 2 \cdot 4^n$ и докажем, что оно делится на 5 для любого $n \in \mathbb{N}$.

Заметим, что $13^{2n+1}$ - нечетное число, так как основа (13) - нечетное число, а показатель (2n+1) - тоже нечетный. Поэтому $13^{2n+1}$ можно представить в виде $13^{2n+1} = 5k + 3$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое $2 \cdot 4^n$. Это четное число, так как 2 умножается на степень четного числа 4. Представим его в виде $2 \cdot 4^n = 2 \cdot (2^n)^2$.

Таким образом, наше исходное выражение можно записать как:

$13^{2n+1} + 2 \cdot 4^n = (5k + 3) + 2 \cdot (2^n)^2.$

Теперь давайте рассмотрим это выражение по модулю 5:

$(5k + 3) + 2 \cdot (2^n)^2 \equiv 3 + 2 \cdot (2^n)^2 \pmod{5}.$

Теперь докажем, что это выражение всегда делится на 5 для любого $n$.

1. При $n = 0$: $3 + 2 \cdot (2^0)^2 = 3 + 2 \cdot 1 = 5$, что делится на 5.

2. Предположим, что для некоторого $n = k$ это выражение делится на 5. То есть $3 + 2 \cdot (2^k)^2$ делится на 5.

3. Докажем, что если для $n = k$ выражение делится на 5, то оно также делится на 5 для $n = k + 1$.

$$\begin{align*} 3 + 2 \cdot (2^{k+1})^2 & = 3 + 2 \cdot 2^{2k+2} \\ & = 3 + 2 \cdot (2^{2k} \cdot 2^2) \\ & = 3 + 2 \cdot (2^{2k} \cdot 4) \\ & = 3 + 8 \cdot (2^{2k}) \\ & = 3 + 3 \cdot 5 \cdot (2^{2k}) + 3 \cdot (2^{2k}) \\ & \equiv 3 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot (2^{2k}) \pmod{5}. \end{align*}$$

Последний шаг выполнен, так как $3 \cdot 5$ делится на 5, и, следовательно, $3 + 3 \cdot 0 + 3 \cdot (2^{2k})$ также делится на 5.

Таким образом, мы доказали, что для любого $n$ выражение $13^{2n+1} + 2 \cdot 4^n$ делится на 5.