Question

С помощью Метода математической индукции доказать что Где - Числа Фибоначчи

Answer 1

Ответ и решение даны в приложении

Answer 2

Для доказательства равенства с помощью метода математической индукции нам нужно выполнить два шага:

1. Базовый шаг: Доказать, что утверждение верно для начального значения (например, n=1 или n=2).

2. Шаг индукции: Предположить, что утверждение верно для некоторого произвольного, но фиксированного n=k, и затем показать, что из этого следует, что оно верно и для n=k+1.

Давайте применим метод математической индукции к данному утверждению:

Утверждение: Для всех натуральных чисел n выполняется равенство F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(n) = F(n+2) - 1,

где F(n) обозначает n-ое число Фибоначчи.

Шаг 1 (Базовый шаг): Для n=1: F(1) = 1, а согласно формуле F(1+2) - 1 = F(3) - 1 = 2 - 1 = 1. Таким образом, базовый шаг верен для n=1.

Шаг 2 (Шаг индукции): Предположим, что утверждение верно для некоторого фиксированного, но произвольного n=k, то есть F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(k) = F(k+2) - 1.

Нам нужно доказать, что это верно и для n=k+1, то есть F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(k) + F(k+1) = F(k+3) - 1.

Рассмотрим левую сторону уравнения: F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(k) + F(k+1).

Мы уже предположили, что F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(k) = F(k+2) - 1, так что можем заменить это выражение: (F(k+2) - 1) + F(k+1).

Теперь объединим эти два слагаемых: F(k+2) + F(k+1) - 1.

Теперь воспользуемся свойством чисел Фибоначчи, которое гласит, что F(n+2) = F(n+1) + F(n): (F(k+1) + F(k)) + F(k+1) - 1.

Теперь объединим F(k+1) и F(k) по этому свойству: F(k+2) + F(k+1) - 1.

И, наконец, мы видим, что это выражение совпадает с правой стороной уравнения: F(k+3) - 1.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для n=k, то оно также верно и для n=k+1. Это завершает шаг индукции.

Поэтому, с учетом базового шага и шага индукции, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.