Question

Помогите решить! Найти неопределённый интеграл (cosx dx)/(4+3sinx)

Answer 1

$\int \frac{cosx\, dx}{4+3\, sinx}=[\; u=4+3\, sinx\; ,\; dt=3cosx\, dx\; ]=\frac{1}{3}\int \frac{du}{u}=\\\\=\frac{1}{3}\cdot ln|u|+C=\frac{1}{3}\cdot ln|4+3\, sinx|+C$

Answer 2

Давайте найдем неопределенный интеграл ∫(cos(x) dx)/(4 + 3sin(x)).

Сначала проведем замену:

Пусть u = sin(x), тогда du = cos(x) dx.

Теперь заменим sin(x) в знаменателе:

∫(cos(x) dx)/(4 + 3sin(x)) = ∫(du)/(4 + 3u).

Дробь 1/(4 + 3u) разлагается на простые дроби:

1/(4 + 3u) = A/(4 + 3u).

A = 1, так как коэффициент при u должен равняться 1.

Теперь у нас есть:

∫(du)/(4 + 3u) = ∫(1/(4 + 3u)) du.

Интегрируем это выражение относительно u:

∫(1/(4 + 3u)) du = (1/3)ln|4 + 3u| + C.

Теперь возвращаемся к исходной переменной sin(x):

(1/3)ln|4 + 3sin(x)| + C.

Итак, неопределенный интеграл (cos(x) dx)/(4 + 3sin(x)) равен:

(1/3)ln|4 + 3sin(x)| + C.