Question

Определите промежутки возрастания и убывания функции с помощью производной:y= (x²+8x+2)/x

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции, сначала найдем производную функции y = (x^2 + 8x + 2) / x.

Для этого используем правило дифференцирования частного и правило дифференцирования функции x^n:

y = (x^2 + 8x + 2) / x

y' = [(x^2 + 8x + 2)' * x - (x^2 + 8x + 2) * x'] / x^2

y' = [(2x + 8) * x - (x^2 + 8x + 2)] / x^2

y' = (2x^2 + 8x - x^2 - 8x - 2) / x^2

y' = (x^2 - 2) / x^2

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

x^2 - 2 = 0

x^2 = 2

x = ±√2

Теперь определим знак производной в интервалах между точками -√2 и √2 и за пределами них.

1. Если x < -√2, то x^2 - 2 < 0, и y' < 0.
2. Если -√2 < x < √2, то x^2 - 2 > 0, и y' > 0.
3. Если x > √2, то x^2 - 2 > 0, и y' > 0.

Теперь мы можем сделать вывод о промежутках возрастания и убывания функции:

• Функция убывает на интервале (-∞, -√2).
• Функция возрастает на интервале (-√2, √2).
• Функция также возрастает на интервале (√2, +∞).

Это информация о знаке производной и позволяет нам определить промежутки возрастания и убывания функции y = (x^2 + 8x + 2) / x.