Question

Xy-y^2+2x^2=5 Решить уравнение в целых числах

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

запишем уравнение в виде

2х²+ух-(у²+5)=0

и решим его относительно х

d=y²+4*2(y²+5)=y²+8y²+40=9y²+40

x₁₋₂=(-y±√d)/4

чтобы х и у были целыми числами необходимо чтобы корень из дискриминанта был целым числом и выражение -y±√d было кратно 4

решим задачу методом подбора

придавая у значения равные целым числам будем вычислять дискриминант, и если он целый то вычислим корни если они целые то все хорошо

для примера рассмотрим целые значения у ∈[-10;10]

результат вычислений в приложении

полученные решения

(-2;1) (2;3) (2;-1)  (-2;-3)

проверка

-2-1+8=5

6-9+8=5

-2-1+8=5

6-9+8=5

примечания

расчеты произведены в екселе,

если есть время и желание можно продолжить процесс поиска других корней но выскажу гипотезу что больше целочисленных решений нет

Answer 2

Давайте попробуем решить уравнение Xy - y^2 + 2x^2 = 5 в целых числах.

Сначала перенесем все члены на одну сторону уравнения:

Xy - y^2 + 2x^2 - 5 = 0

Теперь давайте рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной y. Для этого давайте рассмотрим y как неизвестную и X, x как параметры. Тогда у нас есть следующее квадратное уравнение:

y^2 - Xy + 2x^2 - 5 = 0

Теперь мы можем использовать дискриминант для определения условий, при которых у нас есть целые решения этого уравнения. Дискриминант D для квадратного уравнения вида ay^2 + by + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В нашем случае:

a = 1 b = -X c = 2x^2 - 5

D = (-X)^2 - 4 * 1 * (2x^2 - 5) = X^2 - 8x^2 + 20

Теперь, чтобы иметь целые решения, дискриминант D должен быть полным квадратом, то есть D должно быть равно квадрату некоторого целого числа m^2:

X^2 - 8x^2 + 20 = m^2

Попробуем переписать это уравнение:

X^2 - 8x^2 + 20 - m^2 = 0

Мы можем рассмотреть это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной X. Давайте снова используем дискриминант:

a = 1 b = -8x^2 + 20 - m^2 c = -8x^2 + 20 - m^2

D = (-8x^2 + 20 - m^2)^2 - 4 * 1 * (-8x^2 + 20 - m^2)

Теперь нам нужно найти такие значения x, m и X, при которых D будет полным квадратом. Это может потребовать некоторого анализа и поиска целых решений, но общий метод решения таких уравнений может быть довольно сложным и требовать компьютерных вычислений.

Однако мы можем попробовать рассмотреть различные значения x, m и X и проверить, есть ли решения, удовлетворяющие условию, что D - полный квадрат. Это может потребовать итераций и анализа, и возможно, не будет простого аналитического решения.