Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями 1) y=cosx y=0 x=0 x=pi/2 2) y=x^2 y=2-x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) y=cosx    y=0      x=0      x=π/2    S=?

S=₀∫π/₂ (cosx-0)dx=sinx  ₀|π/₂=1-0=1.

Ответ: S=1 кв. ед.

2) y=x²    y=2-x    S=?

x²=2-x

x²+x-2=0   D=9    √D=3

x₁=-2       x₂=1

S=₋₂∫¹ (2-x-x²)dx=(2x-x²/2-x³/3) ₋₂|¹=(2*1-1²/2-1³/3-(2*(-2)-(-2)²/2-(-2)³/3)=

=2-1/2-1/3-(-4-2+8/3)=1¹/₆-(-8²/₃)=1¹/₆+3¹/₃=(7/6)+(10/3)=(7+10*2)/6=

=(7+20)/6=27/6=9/2=4,5.

Ответ: S=4,5 кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь под кривой между двумя функциями может быть найдена как разность интегралов этих функций на заданном интервале.

1. Для первой фигуры:

Линии:

• y = cos(x)
• y = 0
• x = 0
• x = π/2

Мы будем находить площадь между y = cos(x) и y = 0 на интервале от 0 до π/2.

Площадь = ∫[0, π/2] (cos(x) - 0) dx = ∫[0, π/2] cos(x) dx

Интегрируя cos(x), получим:

Площадь = [sin(x)] [от 0 до π/2] = sin(π/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Площадь фигуры равна 1.

2. Для второй фигуры:

Линии:

• y = x^2
• y = 2 - x

Мы будем находить площадь между y = x^2 и y = 2 - x на интервале, где эти функции пересекаются.

Сначала найдем точки пересечения:

x^2 = 2 - x

x^2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

x1 = -2, x2 = 1

Теперь мы будем находить площадь между кривой y = x^2 и y = 2 - x на интервале [-2, 1].

Площадь = ∫[-2, 1] [(2 - x) - x^2] dx

Интегрируя это, получим:

Площадь = [2x - (x^2/2) - (x^3/3)] [от -2 до 1]

Площадь = [2(1) - (1^2/2) - (1^3/3)] - [2(-2) - ((-2)^2/2) - ((-2)^3/3)]

Площадь = [2 - 1/2 - 1/3] - [-4 - 2 - 8/3]

Площадь = [11/6] - [-22/3]

Площадь = 11/6 + 22/3

Чтобы сложить дроби, мы приведем их к общему знаменателю:

Площадь = (11/6)*(2/2) + 22/3 = 22/12 + 88/12 = 110/12

Сократим дробь:

Площадь = 55/6

Площадь фигуры равна 55/6.