Question

Обчисліть суму всіх трицифрових чисел, кратних 11​

Answer 1

Наименьшее трехзначное число, кратное 11 это 110, а наибольшее - 990. Имеем последовательность трехзначных чисел, кратных 11:

110; 121; ... ; 990

С другой стороны эта последовательность является арифметической прогрессией с первым членом 110 и разностью прогрессии 11. По формуле n-го члена, найдем их количество чисел.

$a_n=a_1+(n-1)d\\ \\ 990=110+11(n-1)~~~|:11\\ \\ 90=10+n-1\\ \\ n=81$

Осталось найти сумму первых 81 членов арифметической прогрессии, т.е. сумму всех трехзначных чисел, кратных 11.

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\\ \\ S_{81}=\dfrac{a_1+a_{81}}{2}\cdot 81=\dfrac{110+990}{2}\cdot 81=44550$

Ответ: 44550.

Answer 2

Щоб знайти суму всіх трицифрових чисел, кратних 11, потрібно знайти кількість таких чисел та їх середнє значення, а потім перемножити їх.

11 - це просте число, тому кожне трицифрове число, кратне 11, можна представити у вигляді 11 * N, де N - це одне з чисел від 100 до 999, кратних 11.

Перше кратне 11 більше або рівне 100: 11 * 10 = 110. Останнє кратне 11 менше або рівне 999: 11 * 90 = 990.

Тепер можна знайти кількість таких чисел, використовуючи формулу для знаходження кількості членів арифметичної прогресії: $\text{Кількість чисел} = \frac{\text{останнє число} - \text{перше число}}{\text{крок}} + 1.$

У цьому випадку крок - це 11.

$\text{Кількість чисел} = \frac{990 - 110}{11} + 1 = \frac{880}{11} + 1 = 80 + 1 = 81.$

Отже, є 81 трицифрове число, кратне 11.

Тепер, щоб знайти суму цих чисел, можна використовувати формулу для суми арифметичної прогресії: $\text{Сума} = \frac{\text{кількість чисел} \times (\text{перше число} + \text{останнє число})}{2}.$

$\text{Сума} = \frac{81 \times (110 + 990)}{2} = \frac{81 \times 1100}{2} = 44550.$

Отже, сума всіх трицифрових чисел, кратних 11, дорівнює 44550.