Question

Решите показательные уравнения 3^1-2x=45x 3^x-14×3^-x=5

Answer 1

3^х-14•3^(-х)=5

х€(-оо;+оо)

3^х=а>0

а-14/а=5

а²-14=5а

а²-5а-14=0

Д=25+56=81=9²

а=(5±9)/2

а1=7

а2=-2

2)3^х=7

х=log(3)7

2)3^x=-2

x€∅

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. Уравнение 1: $3^{1-2x} = 45x$.

Сначала преобразуем левую сторону уравнения:

$3^{1-2x} = \frac{3^1}{3^{2x}} = 3 \cdot \frac{1}{3^{2x}} = \frac{3}{3^{2x}}$.

Теперь у нас есть:

$\frac{3}{3^{2x}} = 45x$.

Умножим обе стороны на $3^{2x}$, чтобы избавиться от знаменателя:

$3 = 45x \cdot 3^{2x}$.

Теперь давайте разделим обе стороны на 3:

$1 = 15x \cdot 3^{2x}$.

Теперь мы можем заметить, что $3^{2x} = (3^x)^2$, поэтому у нас есть:

$1 = 15x \cdot (3^x)^2$.

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида $ax^2 = b$, где $a = 15$ и $b = 1$. Решим его:

$15x^2 = 1$.

$x^2 = \frac{1}{15}$.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{15}}$.

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение:

2. Уравнение 2: $3^x - 14 \cdot 3^{-x} = 5$.

Давайте заметим, что $3^{-x} = \frac{1}{3^x}$, поэтому у нас есть:

$3^x - 14 \cdot \frac{1}{3^x} = 5$.

Умножим обе стороны на $3^x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$3^x \cdot 3^x - 14 = 5 \cdot 3^x$.

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида $a^2 - b = ac$, где $a = 3^x$, $b = 14$, и $c = 5$. Решим его:

$(3^x)^2 - 5 \cdot 3^x - 14 = 0$.

Подставим $u = 3^x$:

$u^2 - 5u - 14 = 0$.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения:

$(u - 7)(u + 2) = 0$.

Теперь найдем значения $u$:

1. $u - 7 = 0$ => $u = 7$.

2. $u + 2 = 0$ => $u = -2$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1. Если $u = 7$, то $3^x = 7$, и $x = \log_3(7)$.

2. Если $u = -2$, то $3^x = -2$, но это невозможно для действительных чисел $x$.

Итак, решениями исходных уравнений являются:

1. $x = \log_3(7)$ для первого уравнения.

2. Второе уравнение не имеет действительных решений.