Question

Остача при діленні деякого натурального числа на 9 дорівнює 4. Чому дорівнює остача при діленні на 9 квадрата цього числа? пояснити де що взялося(словами) буду дуже вдячна

Answer 1

По условию

a:9=k (остаток 4) - это можно записать равенством:

a=9k+4

a²=(9k+4)²=(9k)²+2·(9k)·4+4^2=81k^2+9·8k+9+7= 9(9k²+8k+1)+7

9(9k²+8k+1) делится на 9 нацело⇒

остаток равен 7

Answer 2

Розглянемо дане натуральне число як $x$. Якщо остача при діленні $x$ на 9 дорівнює 4, це можна виразити у вигляді рівності:

$x \equiv 4 \pmod{9}$

Це означає, що $x$ і 4 дають однакову остачу при діленні на 9. Тепер ми хочемо знайти остачу при діленні на 9 квадрата цього числа, тобто $x^2$.

Ми можемо використати властивості модульної арифметики, щоб розв'язати це питання. Подивимося на квадрат $x$ у виразі $x^2$:

$x^2 = (x \cdot x)$

Оскільки $x \equiv 4 \pmod{9}$, ми можемо представити $x$ у вигляді $x = 9k + 4$, де $k$ - це ціле число, яке виражає останні дев'ять чисел $x$ при діленні на 9. Підставимо це значення $x$ у вираз для $x^2$:

$x^2 = (9k + 4)(9k + 4) = 81k^2 + 72k + 16$

Тепер подивимося на остачу цього виразу при діленні на 9. Очевидно, перші два члени $81k^2 + 72k$ будуть кратні 9, тому вони дають остачу 0 при діленні на 9. Остача при діленні на 9 квадрата числа $x$ виглядає так:

$x^2 \equiv 16 \pmod{9}$

Отже, остача при діленні на 9 квадрата числа $x$ дорівнює 16.